Математическая индукция, лошади и не только

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1469436 писал(а):

но при переходе

Пока что нет перехода. По индукции доказываются утверждения вида $\forall n: P(n)$. Сформулируйте утверждение такого вида. Пока что было только $\forall n: n^{n + 1} > (n + 1)^n$, но это утверждение неверно. Какое утверждение вы хотите доказывать? (выше eugensk предложил два варианта)

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1469437 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469436 писал(а):

но при переходе

Пока что нет перехода. По индукции доказываются утверждения вида $\forall n: P(n)$. Сформулируйте утверждение такого вида. Пока что было только $\forall n: n^{n + 1} > (n + 1)^n$, но это утверждение неверно. Какое утверждение вы хотите доказывать? (выше eugensk предложил два варианта)

Ага,теперь понял,что имел в виду eugensk!

Я так понимаю, в Антидемидовиче приведён первый способ, который предложил eugensk: или утверждение, или $n<3$. Мне интересно разобраться с этим способом, где в таком случае в этом конкретном док-ве(точнее в шаге индукции) из Антидемидовича(том 1, с.30, упр. 46) используется то, что $n$\geqslant$3$?

UPD: А, кажется дошло. Вот у нас задачка: или утверждение при $n$\geqslant$k$, или $n<k$. Для $n=1$ верно, переход осуществили в предположении,что верно высказывание целиком(то есть "утверждение или "..."). По аксиоме индукции верно для всех $n$. Фух. Скажите, пожалуйста, что я правильно сейчас всё понял

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1469439 писал(а):

или утверждение при $n$\geqslant$k$, или $n<k$.

Да, утверждение имеет вид именно $n < 3 \vee n^{n + 1} > (n + 1)^n$.
При $n = 1$ верно (левая часть дизъюнкции выполнена). Рассуждение выше дает переход от $n$ к $n + 1$ при $n \geqslant 3$ (потому что при $n \geqslant 3$ мы из утверждения можем вывести неравенство, потом его попреобразовывать и получить неравенство для $n + 1$). Остались переходы от $1$ к $2$ (тривиально выполнена правая часть) и переходы от $2$ к $3$ (вот тут рассуждение с умножением не проходит - в $2$ у нас еще нет неравенства; но можно непосредственно подставить $3$ и проверить его).

[VoprosT]

Спасибо большое, mihaild и eugensk!
Сегодня я разобрался в том, в чём думал, что разбираюсь

[miflin]

Прошу прощения, что влез, но вопрос слишком мелкий для отдельной темы,
а ТС вроде бы получил ответ.
Короче. Утверждения "одной масти" и "одинаковой масти" - эквивалентны?

[Утундрий]

А вот рог у носорога, он один или одинаков?

[SiberianSemion]

miflin в сообщении #1469489 писал(а):

Утверждения "одной масти" и "одинаковой масти" - эквивалентны?

А мы говорим про питерских или про тамбовских?

[miflin]

miflin в сообщении #1469489 писал(а):

Утверждения "одной масти" и "одинаковой масти" - эквивалентны?

Вот здесь автор пишет:

Цитата:

База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.

И считает необходимым пояснить в скобках, что "одного" надо понимать как "одинакового".
Т.е. "одного" может иметь и другой смысл.
Когда речь о двух и более лошадях, то "одного" и "одинакового" - синонимы.
Когда же одна лошадь, то "одного" можно понимать также и в количественном
смысле - у одной лошади не может быть двух и более цветов, т.е. имеем тавтологию.
"Одинакового" же для одной лошади - полный абсурд, из которого и возникло доказательство- шутка,
и анализировать её с помощью теории множеств - то же самое, что объяснять смысл анекдота.
Исходный посыл абсурдный - чего можно ждать на выходе?

"И чё? - резонно может кто-то спросить - Что из этого следует?"
Корова пожимает плечами:
- ... Из этого ничего не следует. Я это фросто так рассказал. (c) Б. Штерн, "Вперед, конюшня!"

З.Ы.
- Взвесьте мне, пожалуйста, одинаковый арбуз.
- Одинаковый с каким другим арбузом?
- Ни с каким. Просто одинаковый.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1469448 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469439 писал(а):

или утверждение при $n$\geqslant$k$, или $n<k$.

Рассуждение выше дает переход от $n$ к $n + 1$ при $n \geqslant 3$ (потому что при $n \geqslant 3$ мы из утверждения можем вывести неравенство, потом его попреобразовывать и получить неравенство для $n + 1$).

Кажется,я снова запутался в лошадях. Но ведь с лошадьми мы тоже вполне себе получали переход от $n$ к $n + 1$, он оказался не верен при $n=2$. Так вот. Где гарантии, что какое-то утверждение не мимикрирует под индукцию, как лошади?Имею в виду, как отличить правильное от неправильного?Только руками найти $n$,при котором утверждение неверно?А вдруг оно неверно при $n=1248$, а при остальных верно? Не устанем ли искать?

[Утундрий]

VoprosT в сообщении #1469735 писал(а):

как отличить правильное от неправильного?

Надо мыслить, – сурово сказал Остап.

[VoprosT]

Утундрий в сообщении #1469736 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469735 писал(а):

как отличить правильное от неправильного?

Надо мыслить, – сурово сказал Остап.

Это,конечно,замечательный совет,но разобраться в вопросе он не помогает.

[gris]

а вот вполне лошадиная задача. Доказать индукцией, что
$U(n)=n^2-2n+1>0$
База: $n=0; U(0)=1>0$
Пусть $U(n)>0; U(n+1)=(n+1)^2-2(n+1)+1=U(n)+2n-1$
Для $n\in\mathbb N: \;2n-1>0\Rightarrow U(n+1)>0$
Аккуратность и филателистическая щепетильность помогут.

[VoprosT]

gris в сообщении #1469755 писал(а):

а вот вполне лошадиная задача. Доказать индукцией, что
$U(n)=n^2-2n+1>0$
База: $n=0; U(0)=1>0$
Пусть $U(n)>0; U(n+1)=(n+1)^2-2(n+1)+1=U(n)+2n-1$
Для $n\in\mathbb N: \;2n-1>0\Rightarrow U(n+1)>0$
Аккуратность и филателистическая щепетильность помогут.

Здесь ошибка,видимо,в том, что $2n-1>0$ только при $n>1$, а в док-ве $0$ "считается натуральным" и берётся в качестве базы.
Поискал на форуме: проблема с лошадьми в том, что при $n=2$ множество от лошадей от $2$ до $n-1$ пусто, транзитивность не канает. Но в той же теме был интересный вопрос: коли множество пусто, можем про него говорить, что угодно(все лошади одного цвета), что не так? Правильно ли я понимаю, что "не так" как раз таки невозможность применить транзитивность?

[gris]

VoprosT в сообщении #1469758 писал(а):

Здесь ошибка,видимо,в том, что $2n-1>0$ только при $n>1$,

Почему? При $n=1: 2n-1=1>0$, так что всё в порядке.

[VoprosT]

gris в сообщении #1469759 писал(а):

VoprosT в сообщении #1469758 писал(а):

Здесь ошибка,видимо,в том, что $2n-1>0$ только при $n>1$,

Почему? При $n=1: 2n-1=1>0$, так что всё в порядке.

Опечатался, вот мысль, которую хотел донести: "Здесь ошибка,видимо,в том, что $2n-1>0$ только при $n\geqslant1$, а с нулем не работает"