Теорема Бэра о категории

[Y_kimA]

Теорема Бэра о категории утверждает, что
В полном пространстве пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных множеств — всюду плотно. Вопрос такой. Множество рациональных чисел Q плотно в пространстве вещественных чисел R. Множество чисел вида q*sqrt(p), где q - рациональное, а p - некое фиксированное простое - тоже плотно в пространстве вещественных чисел R. Пересечение счетного семейства этих множеств для разных p есть пустое множество. А по теореме должно быть всюду плотно. Где ошибка в рассуждениях?

[mihaild]

Точно ли $\mathbb Q$ является всюду плотным? А открытым?

[Y_kimA]

https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9F% ... 0%B2%D0%BE

[mihaild]

Ну да, там написано правильное определение. Еще где-то там рядом написано определение открытого множества. Проверьте, удовлетворяет ли $\mathbb Q$ этим определениям.

[Y_kimA]

Числовая прямая рассматривается одновременно и как открытое, и как замкнутое множество.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.