"Перенос" скалярного произведения под интегралом

[kirkirkir]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с этим ходом:
$ \int\limits_{}^{}\int\limits_{G}^{}\int\limits_{}^{}\rho(M)([V\omega], r)dx_{1}dx_{2}dx_{3}=([V\omega], \int\limits_{}^{}\int\limits_{G}^{}\int\limits_{}^{}\rho(M)rdx_{1}dx_{2}dx_{3})$
Пояснения:
$[V\omega]$ одинаково для всех точек тела (произведение скорости центра инерции тела на угловую скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции тела).
$\rho(M)$ - плотность тела в точке $M$.
$r={x_{1}, x_{2}, x_{3}$ - радиус-вектор точки $M$.

Вообще, это из вывода тензора инерции. Контекст, думаю, не столько важен. Вопрос: что позволяет таким образом "выносить" скалярное произведение?

[nnosipov]

kirkirkir в сообщении #1467281 писал(а):

Вопрос: что позволяет таким образом "выносить" скалярное произведение?

То, что вектор $[V\omega]$ постоянный (точнее, не зависит от $x_1$, $x_2$, $x_3$). Ну и, разумеется, линейность как скалярного произведения, так и интеграла.

Да, кстати, а где Ваши попытки ответить на вопрос?

[kirkirkir]

nnosipov в сообщении #1467282 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467281 писал(а):

Вопрос: что позволяет таким образом "выносить" скалярное произведение?

То, что вектор $[V\omega]$ постоянный (точнее, не зависит от $x_1$, $x_2$, $x_3$). Ну и, разумеется, линейность как скалярного произведения, так и интеграла.

Все-таки не совсем понятно, вот почему:
Линейность скалярного произведения:
$(ax,y)=a(x,y)$
$\int\limits_{}^{}af(x)dx=a\int\limits_{}^{}f(x)dx$, где $a$ - число.
Но в данном случае это совсем другая конструкция.

[nnosipov]

kirkirkir в сообщении #1467288 писал(а):

Линейность скалярного произведения:

Нет, линейность скалярного произведения (как и интеграла) подразумевает не только это, но и ... что?

[vpb]

kirkirkir в сообщении #1467288 писал(а):

Но в данном случае это совсем другая конструкция.

Подумайте, почему $\int_a^b (v, f(x))\,dx=(v,\int_a^b f(x)\,dx)$, где $f(x)$ --- вектор-функция одного аргумента.

[kirkirkir]

vpb в сообщении #1467290 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467288 писал(а):

Но в данном случае это совсем другая конструкция.

Подумайте, почему $\int_a^b (v, f(x))\,dx=(v,\int_a^b f(x)\,dx)$, где $f(x)$ --- вектор-функция одного аргумента.

Спасибо, но можете, пожалуйста, мне сразу тогда что-либо посоветовать почитать на эту тему (или какие теоремы тут используются)? Если бы я мог ответить на вопрос в приведенной формулировке, то и с исходной, приведенной мной, конструкцией проблем бы тоже не возникло.

-- 06.06.2020, 09:59 --

nnosipov в сообщении #1467289 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467288 писал(а):

Линейность скалярного произведения:

Нет, линейность скалярного произведения (как и интеграла) подразумевает не только это, но и ... что?

Да, конечно, забыл линейность по сложению.

[nnosipov]

kirkirkir
Вы просто определение интеграла вспомните (как предела интегральных сумм).

[kirkirkir]

nnosipov в сообщении #1467294 писал(а):

kirkirkir
Вы просто определение интеграла вспомните (как предела интегральных сумм).

Спасибо большое!

[nnosipov]

Пожалуйста.

[EUgeneUS]

kirkirkir
Ещё можно посмотреть, что происходит в координатном представлении (в декартовых координатах).

$(\vec{a},\vec{b}) = \sum\limits_{i}^{} a_i b_i$

$\int\limits_{G}^{} f(\vec{r})(\vec{a},\vec{b}(\vec{r}))dV = \int\limits_{G}^{} f(\vec{r})(\sum\limits_{i}^{}a_i b_i(\vec{r}))dV = \sum\limits_{i}^{} \int\limits_{G}^{} f(\vec{r})a_i b_i(\vec{r})dV = \sum\limits_{i}^{} a_i \int\limits_{G}^{} f(\vec{r}) b_i(\vec{r})dV = (\vec{a}, \int\limits_{G}^{} f(\vec{r}) \vec{b}(\vec{r})dV) $