Подпространства, прямая сумма - задача

[kirkirkir]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить теоретическую задачу.
Задача
Доказать, что пространство всех матриц размеров $N\times{N}$ с элементами из поля $R$ представляет собой прямую сумму двух своих подпространств: подпространства симметричных матриц и подпространства антисимметричных матриц.

Мои попытки решения:
1)Обозначим подпространство симметричных матриц как $P$, а антисимметричных - как $Q$. Несложно доказывается, что $P\cap{Q}={0}$(т.е. что единственная одновременно симметричная и кососимметричная матрица - это нулевая матрица, т.е. нулевой элемент линейного пространства). Это является необходимым и достаточным условием того, что сумма данных линейных подпространств является прямой.
2)Несложно показать, что $dimP+dimQ=dimV$, где $V$ - исходное линейное пространство (простанство матриц размеров $N\times{N}$ с элементами из поля $R$).

Вопрос:
Уже тут становится почти понятно, что $V=P\oplus Q$. Как из вышепприведенных двух утверждений строго прийти к тому, что $V=P\oplus Q$?

[Brukvalub]

kirkirkir в сообщении #1467198 писал(а):

Уже тут становится почти понятно, что $V=P\oplus Q$.

А какие требуются уточнения?

[kirkirkir]

Brukvalub в сообщении #1467200 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467198 писал(а):

Уже тут становится почти понятно, что $V=P\oplus Q$.

А какие требуются уточнения?

Не могу понять как строго показать, что $V=P\oplus Q$, т.е. из каких конкретно рассуждений это должно следовать. Отдельные соображения есть, а целостной картины - нет.

[Brukvalub]

То, что сумма прямая, следует из определения прямой суммы, то, что сумма имеет размерность всего пространства, следует, например, из формулы Грассмана. Но тот факт, что любая матрица есть сумма симметрической и кососимметрической, можно показать просто "руками".

[nnosipov]

Но Вы уже поняли, что $P+Q=P \oplus Q$. Если Вы еще к тому же понимаете, что $\dim{P}+\dim{Q}=\dim{V}$, то что еще тут надо? Разве что мелочь типа: чему равна $\dim{(P \oplus Q)}$.

[vpb]

kirkirkir в сообщении #1467198 писал(а):

Как из вышепприведенных двух утверждений строго прийти к тому, что $V=P\oplus Q$?

Доказать, самому для себя, из первых принципов, т.е. из аксиом и определений, что если два подпространства в каком-то пространстве пересекаются тривиально, а сумма их размерностей равна размерности всего пространства, то оно (объемлющее пространство) и является прямой суммой. Тогда всё получше уложится в голове.

[kirkirkir]

vpb в сообщении #1467287 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467198 писал(а):

Как из вышепприведенных двух утверждений строго прийти к тому, что $V=P\oplus Q$?

Доказать, самому для себя, из первых принципов, т.е. из аксиом и определений, что если два подпространства в каком-то пространстве пересекаются тривиально, а сумма их размерностей равна размерности всего пространства, то оно (объемлющее пространство) и является прямой суммой. Тогда всё получше уложится в голове.

Скажите, пожалуйста, можно ли рассуждать как-то так:
в пространстве $V$ не существует больше подпространств, которые не имели бы пересечений ни с $P$, ни с $Q$ (следует из размерностей: если бы такие пространства были, то по формуле Грассмана $dimV>dimQ+dimP$). Значит, пространство $V$ является суммой $P$ и $Q$, т.е. для любого элемента $x\inV$ найдутся такие $v\inP$ и $u\inQ$, что $x=u+v$. Покажем, что данное представление единственно (тогда $Q+P=Q\oplus P$). Действительно, пусть существуют такие $u'\inQ$ и $v'\inP$, что $x=u'+v'$. Рассмотрим разность $x=u+v$ и $x=u'+v'$: $\theta=(u'-u)+(v-v')$. Так как $P$ и $Q$ являются подпространствами, то $(u'-u)$$\in{Q}$ и $(v'-v)$ $\in{P}$. По аксиомам линейного пространства в правой части выражения $\theta=(u'-u)+(v-v')$ должны стоять также нулевые элементы. Следовательно, опять же по аксиомам и свойствам ЛП $u'=u$ и $v'=v$, т.е. это дейсвительно прямая сумма. Утверждение доказано.

[vpb]

kirkirkir в сообщении #1467301 писал(а):

Скажите, пожалуйста, можно ли рассуждать как-то так:

Кое-что в этом рассуждении правильно, но не всё, и не полно. В общем, довольно беспорядочно.В деталях комментировать смысла сейчас нет. Совет такой: подумать подольше и более сосредоточенно.

[kirkirkir]

vpb в сообщении #1467302 писал(а):

kirkirkir в сообщении #1467301 писал(а):

Скажите, пожалуйста, можно ли рассуждать как-то так:

Кое-что в этом рассуждении правильно, но не всё, и не полно. В общем, довольно беспорядочно.В деталях комментировать смысла сейчас нет. Совет такой: подумать подольше и более сосредоточенно.

А можете, пожалуйста, дать небольшую подсказку, чтобы понимать, в каком направлении дальше рассуждать?

[artempalkin]

kirkirkir в сообщении #1467459 писал(а):

А можете, пожалуйста, дать небольшую подсказку, чтобы понимать, в каком направлении дальше рассуждать?

Скажите, а вы знакомы с критериями прямой суммы подпространств и их доказательствами? Я бы порекомендовал с этого начать. Это несложно, и, мне кажется, все вам разъяснит.

В целом, мне кажется, ваши рассуждения совершенно верны, только вот это

kirkirkir в сообщении #1467301 писал(а):

По аксиомам линейного пространства в правой части выражения $\theta=(u'-u)+(v-v')$ должны стоять также нулевые элементы.

не совсем понятно, откуда, по вашей логике, следует (то есть это верно, но почему вы так считаете? Какие такие "аксиомы"? Не думаю, что это прямо следует из 8 аксиом ЛП).

[beroal]

artempalkin в сообщении #1467483 писал(а):

Скажите, а вы знакомы с критериями прямой суммы подпространств и их доказательствами?

Вот да. Я лично не понимаю, зачем приплетать размерности. В любом учебнике должен быть критерий $Q+P=V$ и $Q\cap P = \{0\}$. Что у вас за учебник, kirkirkir?

-- Вт июн 09, 2020 18:39:28 --

Кстати, характеристика поля $R$ должна быть не равна $2$, чтобы получить $P\cap Q = \{0\}$.

[artempalkin]

beroal в сообщении #1467828 писал(а):

Кстати, характеристика поля $R$ должна быть не равна $2$, чтобы получить $P\cap Q = \{0\}$.

Ого, интересно. То есть, например, над полем вычетов по модулю два существует ненулевая матрица одновременно и симметрическая и кососимметрическая?

[vpb]

kirkirkir в сообщении #1467459 писал(а):

А можете, пожалуйста, дать небольшую подсказку, чтобы понимать, в каком направлении дальше рассуждать?

В направлении думать и выражаться аккурано. Ну вот например первая фраза

kirkirkir в сообщении #1467301 писал(а):

в пространстве $V$ не существует больше подпространств, которые не имели бы пересечений ни с $P$, ни с $Q$

Или Вы сами не понимаете ее смысла, или, скорее, придаете словам в ней смысл не тот, что обычно.
В обычном смысле, конечно, неверно: если есть двумерное пространство $V$, и в нем два одномерных подпространства $P$ и $Q$, различных, то имеется сколько угодно одномерных подпространств, не пересекающихся ни с $P$, ни с $Q$. И так далее, можете перечитать все остальные фразы и про каждую задаться вопросом, понимаете ли Вы, что она значит, а если понимаете, то верна или нет ?

[beroal]

artempalkin в сообщении #1467877 писал(а):

beroal в сообщении #1467828 писал(а):

Кстати, характеристика поля $R$ должна быть не равна $2$, чтобы получить $P\cap Q = \{0\}$.

Ого, интересно. То есть, например, над полем вычетов по модулю два существует ненулевая матрица одновременно и симметрическая и кососимметрическая?

Так как в $\mathbb{Z}_2$ любой элемент противоположен себе, любая симметричная матрица над $\mathbb{Z}_2$…

[artempalkin]

beroal в сообщении #1467890 писал(а):

Так как в $\mathbb{Z}_2$ любой элемент противоположен себе, любая симметричная матрица над $\mathbb{Z}_2$…

... является и кососимметрической.

Ага, вчера вечером поразмыслил и понял это. Интересный факт.
Получается, над полями с конечной характеристикой (четной, я так понимаю) на диагонали КСМ могут стоять и ненулевые элементы...