Подпространства, прямая сумма - задача

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1468041 писал(а):

над полями с конечной характеристикой (четной, я так понимаю)

Собственно конечная четная характеристика бывает только одна:)

Кстати при этом разваливается и стандартное доказательство того, что определитель матрицы с двумя одинаковыми строками меняет знак равен нулю (оно опирается на то, что если переставить две строки, то определитель не поменяется, но изменит знак).

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1468046 писал(а):

Собственно конечная четная характеристика бывает только одна:)

Ааа, ну верно, я имел в виду четного порядка. Хотя я в этом не особо силен, бывают же бесконечные поля с конечной характеристикой?

mihaild в сообщении #1468046 писал(а):

определитель матрицы с двумя одинаковыми строками меняет знак

Вы хотели написать "равен нулю". Да, получается, разваливается, т.к. он может изменить знак и при этом не поменяться.
Но, я думаю, если матрицу с двумя одинаковыми строками над $\mathbb{Z}_2$ на минуточку "перевести" в $\mathbb{R}$, не меняя элементы, там проделать все эти дела со строками, получить нулевой определитель, "вернуться" в $\mathbb{Z}_2$, то такое доказательство сойдет :)

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1468051 писал(а):

Хотя я в этом не особо силен, бывают же бесконечные поля с конечной характеристикой?

Бывают. Поле рациональных дробей над многочленами над $\mathbb Z_2$ например.

Просто полей четной характеристики, отличной от $2$, не бывает - ни конечных, ни бесконечных. Поэтому вместо "четная характеристика" можно писать "характеристика $2$".

artempalkin в сообщении #1468051 писал(а):

Но, я думаю, если матрицу с двумя одинаковыми строками над $\mathbb{Z}_2$ на минуточку "перевести" в $\mathbb{R}$

Только не в $\mathbb R$ а в $\mathbb Z$. Это сработает, потому что $\mathbb Z_2$ является фактором $\mathbb Z$ (по четным числам). Но вот доказывать, что любое поле характеристики $2$ является фактором какого-то кольца нулевой характеристики это весело (и я не уверен, что это вообще правда).

[beroal]

beroal в сообщении #1467828 писал(а):

Кстати, характеристика поля $R$ должна быть не равна $2$, чтобы получить $P\cap Q = \{0\}$.

Я тут подумал, что если $\operatorname{char} R=2$, то и $P+Q=V$ не выводится. Подпространство $P+Q$ не содержит несимметрических матриц.

[vpb]

mihaild в сообщении #1468046 писал(а):

Кстати при этом разваливается и стандартное доказательство того, что определитель матрицы с двумя одинаковыми строками меняет знак равен нулю (оно опирается на то, что если переставить две строки, то определитель не поменяется, но изменит знак).

artempalkin в сообщении #1468051 писал(а):

Но, я думаю, если матрицу с двумя одинаковыми строками над $\mathbb{Z}_2$ на минуточку "перевести" в $\mathbb{R}$, не меняя элементы, там проделать все эти дела со строками, получить нулевой определитель, "вернуться" в $\mathbb{Z}_2$, то такое доказательство сойдет :)

mihaild в сообщении #1468058 писал(а):

Только не в $\mathbb R$ а в $\mathbb Z$. Это сработает, потому что $\mathbb Z_2$ является фактором $\mathbb Z$ (по четным числам). Но вот доказывать, что любое поле характеристики $2$ является фактором какого-то кольца нулевой характеристики это весело (и я не уверен, что это вообще правда).

Усё гораздо проще. Характеристика тут ни при чем. То, что определитель с двумя одинаковыми строками ---ноль, легко доказывается (в любом кольце) из индуктивного определения определителя (или из формулы полного развертывания). См. любой учебник.

-- 11.06.2020, 02:09 --

beroal в сообщении #1468080 писал(а):

Я тут подумал, что если $\operatorname{char} R=2$

Я думаю, что изначально под $R$ имелось в виду ${\mathbb R}$. ТС со шрифтами в ТеХе недоразобрался, вероятно. (Хотел раньше на это указать, да запамятовал).

[nnosipov]

vpb в сообщении #1468134 писал(а):

То, что определитель с двумя одинаковыми строками ---ноль, легко доказывается (в любом кольце) из индуктивного определения определителя (или из формулы полного развертывания).

Но кольцо все-таки должно быть коммутативным (а наличие единицы в кольце уже не обязательно).

[artempalkin]

vpb в сообщении #1468134 писал(а):

Усё гораздо проще.

Я бы не сказал, что это проще :) Нет ничего проще и изящнее, чем доказательство через "поменять местами две одинаковые строки" :) но не всегда работает, это да.

Кстати, интересный вопрос: а когда, кроме случая с характеристикой 2, такое док-во не работает?

-- 11.06.2020, 16:11 --

beroal в сообщении #1468080 писал(а):

Я тут подумал, что если $\operatorname{char} R=2$, то и $P+Q=V$ не выводится

Получается, так.
С другой стороны, для произвольной квадратной матрицы $A$ над $\mathbb{Z}_2$ верно

$$A=\frac 12 \left( A+A^T \right) +\frac 12 \left( A-A^T \right)$$

, и симметричность и кососимметричность каждой из этих матриц сомнения не вызывает...

Ага, но только ведь у нас не определено деление на 2 в этом поле (т.к. нет такого элемента). Ну да, это все объясняет.

[mihaild]

vpb в сообщении #1468134 писал(а):

См. любой учебник

Смотрю второе издание "Введения в алгебру" Кострикина, страницу 106, вижу именно такое доказательство. Что логично - говорится про матрицы над $\mathbb R$, абстрактные поля вводятся сильно позже.

artempalkin в сообщении #1468209 писал(а):

а когда, кроме случая с характеристикой 2, такое док-во не работает?

В остальных случаях работает. Если характеристика поля не равна $2$ и $a = -a$, то $a = 0$.

-- 11.06.2020, 16:21 --

artempalkin в сообщении #1468209 писал(а):

для произвольной квадратной матрицы $A$ над $\mathbb{Z}_2$

А что такое $\frac{1}{2}$? Как вы на ноль делите? (ведь $2 = 0$)

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1468219 писал(а):

А что такое $\frac{1}{2}$? Как вы на ноль делите? (ведь $2 = 0$)

Агась, осознал :)