2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?
Сообщение26.05.2020, 21:16 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
mihaild в сообщении #1465296 писал(а):
StepV в сообщении #1465295 писал(а):
У нас не прямая сумма подпространств, а обычная с наличием пересечений
У нас уже нет никакой суммы подпространств, это два разложения вектора $f$ по базису пространства $L_2$.


Согласен с вами. Прошу прощения за невнимательность, т.к. отвечаю сразу двум участникам форума.
Сформулирую свою мысль точнее, У нас есть неоднозначность для разложения вектора $\textbf h(L_1+L_2)=\textbf g(L_1) + \textbf f(L_2)$. Поэтому и можно написать, то что я написал в первом сообщении:

StepV в сообщении #1465193 писал(а):
Можно разбить вектор $\textbf{h}$ по другому:
$ \textbf{g}(L_1) = (\beta_1 - \zeta_1) e_1 +(\beta_2 - \zeta_2) e_2 +\ldots + (\beta_k - \zeta_k) e_k + \alpha_1 g_1 +\alpha_2 g_2 + \ldots +\alpha_l g_l $
$ \textbf{f}(L_2) = \zeta_1 e_1 +\zeta_2 e_2 +\ldots + \zeta_k e_k + \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots + \gamma_m f_m $
тогда коэффициенты при $e_i$ точно не должны быть равны нулю.

Взяв другие константы $\zeta_{11}$ и т.д. Мы получим новые разложения для вектора $\textbf h(L_1+L_2) $ и в каждом случае у нас разложения вектора получаются вектора $f$ и $g$ с другими коэффициентами. И по доказательству в теорему, во всех этих случаях коэффициенты должны быть равны нулю.

-- 26.05.2020, 21:20 --

Xaositect в сообщении #1465309 писал(а):
В Вашем упрощенном примере на плоскости этот переход соответствует такому: из одних соображений мы получили, что вектор лежит на оси $Ox$, а из других соображений - что он лежит на оси $Oy$. Следовательно, этот вектор нулевой.


Спасибо. Попробую подумать над вашим примером, надо его применить к теореме. Может в этом и будет вся проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?
Сообщение26.05.2020, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
StepV в сообщении #1465316 писал(а):
У нас есть неоднозначность для разложения вектора $\textbf h(L_1+L_2)=\textbf g(L_1) + \textbf f(L_2)$
Есть, но это не страшно.
Напоминаю, что мы вообще делаем: мы взяли какую-то линейную комбинацию векторов $g_1,g_2,\ldots,g_l,e_1,e_2,\ldots ,e_k,f_1,f_2,\ldots,f_m$, которая оказалась нулевой, и хотим показать, что все коэффициенты в ней нулевые. Для этого разобьем эту комбинацию на две части, причем, поскольку у нас тут уже коэффициенты в комбинации, а не просто вектора (может быть тот же нулевой вектор можно получить и другой комбинацией, но нам это не интересно, мы работаем с конкретными коэффициентами) мы это делаем совершенно однозначно. Ну и оказывается, что эти части выражаются слишком через многое, так что сами части нулевые.
StepV в сообщении #1465316 писал(а):
Можно разбить вектор $\textbf{h}$ по другому
Можно, но не нужно. Мы разбиваем $h$ не на произвольные вектора из $L_1$ и $L_2$, а на конкретные, используя данное нам его разложение по $g_1,g_2,\ldots,g_l,e_1,e_2,\ldots ,e_k,f_1,f_2,\ldots,f_m$. Ну и обнаруживаем, что все коэффициенты в этом разложении были нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?
Сообщение26.05.2020, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
StepV в сообщении #1465316 писал(а):
Сформулирую свою мысль точнее, У нас есть неоднозначность для разложения вектора $\textbf h(L_1+L_2)=\textbf g(L_1) + \textbf f(L_2)$. Поэтому и можно написать, то что я написал в первом сообщении:

StepV в сообщении #1465193 писал(а):
Можно разбить вектор $\textbf{h}$ по другому:
$ \textbf{g}(L_1) = (\beta_1 - \zeta_1) e_1 +(\beta_2 - \zeta_2) e_2 +\ldots + (\beta_k - \zeta_k) e_k + \alpha_1 g_1 +\alpha_2 g_2 + \ldots +\alpha_l g_l $
$ \textbf{f}(L_2) = \zeta_1 e_1 +\zeta_2 e_2 +\ldots + \zeta_k e_k + \gamma_1 f_1 +\gamma_2 f_2 + \ldots + \gamma_m f_m $
тогда коэффициенты при $e_i$ точно не должны быть равны нулю.

Взяв другие константы $\zeta_{11}$ и т.д. Мы получим новые разложения для вектора $\textbf h(L_1+L_2) $ и в каждом случае у нас разложения вектора получаются вектора $f$ и $g$ с другими коэффициентами. И по доказательству в теорему, во всех этих случаях коэффициенты должны быть равны нулю.
Коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ должны быть нулю. $\zeta$ не обязательно.

Из того, что $f = -g$, $g\in L_1$, $f \in L_2$ следует, что $g \in L_0$, $f \in L_0$.

Из того, что $g \in L_0$ следует, что $\alpha = 0$, из того, что $f \in L_0$ следует, что $\gamma = 0$. После этого имеются 2 разложения для $f$: $f = \sum \zeta_i e_i = \sum (\zeta_i - \beta_i) e_i$, откуда $\beta = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?
Сообщение27.05.2020, 09:53 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
mihaild в сообщении #1465319 писал(а):
Можно, но не нужно. Мы разбиваем $h$ не на произвольные вектора из $L_1$ и $L_2$, а на конкретные, используя данное нам его разложение по $g_1,g_2,\ldots,g_l,e_1,e_2,\ldots ,e_k,f_1,f_2,\ldots,f_m$. Ну и обнаруживаем, что все коэффициенты в этом разложении были нулевые.


Все именно так, как вы пишете. Спасибо всем за обсуждение. Проверил все на примере для двух плоскостей. Действительно, если мы выбираем системы координат так, как написано в начале теоремы, то коэффициенты $\gamma_i$ должны обнулиться, иначе мы просто неправильно выбрали базисные вектора для $L_2$ в начале процедуры и тогда вектор $\textbf{f} \in L_0$.
С другой стороны хочу обратить внимание участников обсуждения на другую интересную мысль, которая пришла во время обсуждения.
Для векторов подпространств будем писать вектор выделенным шрифтом, а в скобках указывать подпространство, к которому он принадлежит, например: $\textbf{h}_1(\hat{L})$.
Тогда рассмотрим следующую последовательность шагов:
Шаг 1. $\textbf{h}(\hat{L}) = 0$
Шаг 2. $\textbf{h}(\hat{L}) = \textbf{g}(L_1) + \textbf{f}(L_2) = 0 $
Шаг 3. $\textbf{h}(\hat{L}) = \textbf{g}(L_0) + \textbf{f}(L_0) = 0 $
Шаг 4. $\textbf{g}(L_0) = -\textbf{f}(L_0)$

При этом, естественно, $\textbf{g}(L_0) \neq 0$ и $\textbf{f}(L_0) \neq 0$ .
Интересный вывод получился, нулевой вектор суммы подпространств $\hat{L}$ имеет ненулевые, но противоположные по знаку компоненты в суммируемых пространствах.
Пример: $\textbf{f}= -5 \textbf{i}$ , a $\textbf{g}= 5 \textbf{i}$
$\textbf{h}(\hat{L}) = \textbf{g} + \textbf{f} = 5 \textbf{i} + (-5 \textbf{i}) = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Cумма размерностей подпространств. Есть ошибка?
Сообщение27.05.2020, 12:28 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
Xaositect в сообщении #1465320 писал(а):
Из того, что $g \in L_0$ следует, что $\alpha = 0$, из того, что $f \in L_0$ следует, что $\gamma = 0$. После этого имеются 2 разложения для $f$: $f = \sum \zeta_i e_i = \sum (\zeta_i - \beta_i) e_i$, откуда $\beta = 0$.


Спасибо! Вы написали почти в точку. На этом и был у меня тормоз. Разобрал пример для пересечения двух плоскостей и этот нюанс понял. Действительно, системы координат не произвольные, а выстроенные в определенном порядке. Вектора, описывающие $L_0$ в обоих системах одинаковые. И эта процедура описана в начале теоремы. Я воспринял эту процедуру, как просто построение базиса, оказывается именно на порядке построения базисов подпространств и держится дальнейшее доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group