неравенство

[AmatoryFan]

не могу доказать неравенство $\arcsin x > x + \frac {x^3} {3}$ при$ x > 0$ помогите пожалуйста

[T-Mac]

При x=0 неравенство превращается в равенство!

[AmatoryFan]

забыла про ограничение $x > 0$

[T-Mac]

Можно графически решить.

[Brukvalub]

Воспользуйтесь разложением арксинуса в степенной ряд.

[ewert]

Вообще-то есть смутное подозрение, что всё же на шесть, а не на три (это по поводу разложения в ряд). Тогда надо просто пару раз продифференцировать. Для второй производной неравенство тривиально, для нулевой и первой совпадают начальные условия и т.д.

------------------------------
пардон, по рассеянности "неравенство" записалось как "равенство", исправил

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Вообще-то есть смутное подозрение, что всё же на шесть, а не на три.

Да, Вы правы. Ведь при

\[ x \to 0\quad \;\arcsin x - x - \frac{1}{6}x^3 = \bar o(x^4 ) \]

. Поэтому вблизи нуля предложенное в первом посте неравенство заведомо неверно.

[ewert]

Brukvalub писал(а):

$\arcsin x - x - \frac{1}{6}x^3 = o(x^4 )$

А я, между прочим, тоже зануда. Даже не $o(x^4 )$, а $o(x^5 )$.

[Профессор Снэйп]

А как насчёт простого дифференцирования функции

$$ f(x) = \arcsin x - x - \frac{x^3}{6} $$

и доказательства того, что $f'(x) > 0$ при $x \in (0,1)$? Вроде должно прокатить (хотя не проверял).

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А я, между прочим, тоже зануда. Даже не\bar o(x^4 )\], а o(x^5 )\].

Опять попутали, дяденька Я ведь писал о-малое, специально подчеркнув его черточкой сверху. А для пятой степени о-малое не пройдет. Или Вы снова дадите сейчас ссылку на книжку, в которой доказывается, что написанная мной разность есть о-малое от пятой степени переменной

[ewert]

А о-маленьких в природе не бывает, все содержательные вещи получаются только с О-большими.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А о-маленьких в природе не бывает, все содержательные вещи получаются только с О-большими.

Вот ведь бедный Э. Ландау, так и скончался, не узнав, что введенных им символов

ewert писал(а):

в природе не бывает

[ewert]

да не нада эта, я ж всё равно перезанудничаю. Вот объясните-ка: нафига Вы там зафигачили в том маленьком "о" четвёртую степень вместо третьей?

[bot]

Как это нафига? Почему не взять то, что даром в руки лезет?
Арксинус ведь функция нечётная, так что при её разложениии до четвёртого порядка все чётные степени будут с нулевыми коэффициентами, а остаток в форме Пеано как раз и будет $\overline{o}(x^4)$

[TOTAL]

bot писал(а):

Как это нафига? Почему не взять то, что даром в руки лезет?

Но ведь даром лезет $O(x^5)$, а берете только $o(x^4)$. Скромность не позволяет?