2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 неравенство
Сообщение13.05.2008, 21:26 
не могу доказать неравенство $\arcsin x > x + \frac {x^3} {3}$ при$ x > 0$ помогите пожалуйста

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 21:29 
При x=0 неравенство превращается в равенство!

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 21:35 
забыла про ограничение $x > 0$

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 21:44 
Можно графически решить.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:02 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь разложением арксинуса в степенной ряд.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:05 
Вообще-то есть смутное подозрение, что всё же на шесть, а не на три (это по поводу разложения в ряд). Тогда надо просто пару раз продифференцировать. Для второй производной неравенство тривиально, для нулевой и первой совпадают начальные условия и т.д.

------------------------------
пардон, по рассеянности "неравенство" записалось как "равенство", исправил

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:18 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Вообще-то есть смутное подозрение, что всё же на шесть, а не на три.
Да, Вы правы. Ведь при \[
x \to 0\quad \;\arcsin x - x - \frac{1}{6}x^3  = \bar o(x^4 )
\] . Поэтому вблизи нуля предложенное в первом посте неравенство заведомо неверно.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:33 
Brukvalub писал(а):
$\arcsin x - x - \frac{1}{6}x^3  = o(x^4 )$

А я, между прочим, тоже зануда. Даже не $o(x^4 )$, а $o(x^5 )$.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:34 
Аватара пользователя
А как насчёт простого дифференцирования функции

$$
f(x) = \arcsin x - x - \frac{x^3}{6}
$$

и доказательства того, что $f'(x) > 0$ при $x \in (0,1)$? Вроде должно прокатить (хотя не проверял).

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:38 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
А я, между прочим, тоже зануда. Даже не\bar o(x^4 )\], а o(x^5 )\].
Опять попутали, дяденька :D Я ведь писал о-малое, специально подчеркнув его черточкой сверху. А для пятой степени о-малое не пройдет. Или Вы снова дадите сейчас ссылку на книжку, в которой доказывается, что написанная мной разность есть о-малое от пятой степени переменной :shock: :D

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:40 
А о-маленьких в природе не бывает, все содержательные вещи получаются только с О-большими.

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:43 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
А о-маленьких в природе не бывает, все содержательные вещи получаются только с О-большими.
Вот ведь бедный Э. Ландау, так и скончался, не узнав, что введенных им символов
ewert писал(а):
в природе не бывает

 
 
 
 
Сообщение13.05.2008, 22:48 
да не нада эта, я ж всё равно перезанудничаю. Вот объясните-ка: нафига Вы там зафигачили в том маленьком "о" четвёртую степень вместо третьей?

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 04:51 
Аватара пользователя
Как это нафига? Почему не взять то, что даром в руки лезет?
Арксинус ведь функция нечётная, так что при её разложениии до четвёртого порядка все чётные степени будут с нулевыми коэффициентами, а остаток в форме Пеано как раз и будет $\overline{o}(x^4)$

 
 
 
 
Сообщение14.05.2008, 05:50 
Аватара пользователя
bot писал(а):
Как это нафига? Почему не взять то, что даром в руки лезет?
Но ведь даром лезет $O(x^5)$, а берете только $o(x^4)$. Скромность не позволяет?

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group