связь кет-вектора и состояния системы на конкретном примере

[granit201z]

Из учебника Дирака

Цитата:

Этот результат подтверждается примерами, рассмотренными в параграфах 2 и 3. В примере из параграфа 2...

(тот пример был о фотоне, поляризованном под углом к оси турмалина и турмалине)

Цитата:

...имелось как раз два независимых состояния поляризации фотона, за которые можно принять состояния линейной поляризации, параллельной и перпендикулярной некоторому фиксированному направлению. В результате суперпозиции этих двух состояний может быть получена дважды бесконечная последовательность состояний эллиптической поляризации, для описания каждого из которых требуется задание двух параметров. Точно так же и в примере из параграфа 3,...

(этот пример связан с прохождением фотона через две щели)

Цитата:

... в результате суперпозиции двух заданных состояний движения фотона может быть получена дважды бесконечная последовательность состояний движения, каждое из которых характеризуется двумя параметрами. В качестве таких параметров можно взять отношение амплитуд двух волновых функций, которые складываются между собой, и разность фаз между ними. Эти примеры подтверждают необходимость допущения комплексных коэффициентов в уравнении (1)...

$c_1 |A \rangle + c_2 |B \rangle = |R \rangle$ - вот это уравнение

Цитата:

... Если бы мы допустили только вещественные коэффициенты, то, поскольку направление кет-вектора $|R \rangle$ определяется лишь их отношением, в результате суперпозиции получили бы при заданных $|A \rangle$ и $|B \rangle$ лишь простую (а не двойную) бесконечную последовательность состояний.

Основной вопрос - что такое заданные $|A \rangle$ и $|B \rangle$. Как будут выглядеть кет-векторы в этих примерах (для определенности даже пусть будет не в "этих", а в "этом" - ограничимся только примером о прохождении турмалина) помимо абстрактного обозначения: $|A \rangle$, $|B \rangle$, $|R \rangle$? Что из себя представляют эти $|A \rangle$, $|B \rangle$, $|R \rangle$? Каково их наполнение то?

[Eule_A]

granit201z в сообщении #1462006 писал(а):

Каково их наполнение то?

Ну, Дирак же сам об этом пишет раньше. Через $A$ и $B$ он обозначает состояния, в которых фотон характеризуется определённой поляризацией. Оформление их как кет-векторов позволяет отвлечься от того, как именно следует записать эти состояния в более детальных расчётах. Дирак описывает здесь принцип суперпозиции, поэтому ему неважна эта подробная запись. Важно в этом контексте только то, что в этих состояниях фотон обладает определённым значением некоторой характеристики. Т.е. если произвести соответствующее измерение - на выходе гарантированно получится определённый результат. В данном случае - пройдёт фотон через анализатор или нет. А вот если суперпозицию этих состояний взять, то получится один из двух указанных результатов с вероятностью, которая зависит от коэффициентов $c_1$, $c_2$.

[granit201z]

Eule_A в сообщении #1462013 писал(а):

Ну, Дирак же сам об этом пишет раньше. Через $A$ и $B$ он обозначает состояния, в которых фотон характеризуется определённой поляризацией. Оформление их как кет-векторов позволяет отвлечься от того, как именно следует записать эти состояния в более детальных расчётах. Дирак описывает здесь принцип суперпозиции, поэтому ему неважна эта подробная запись.

вот вот. Именно это я и не могу понять пока что. И надеюсь на Вашу помощь в разъяснении.
Вот, например, я имею представление о векторной алгебре, о физических силах, знаю как их представить в виде вектора (например, тройкой чисел, стрелкой, какой-либо 3-х мерной функцией какого-либо переменного) и обратно. Поэтому я могу перейти от физического описания к языку векторной алгебры (а то и к языку рисования, если хочу работать непосредственно со стрелками) и получить там какие-либо результаты, а потом опять перейти к физическому языку, чтобы их интерпретировать. Но отличие в том, что для сил и векторной алгебры - я понимаю как осуществляется этот переход, что означает каждое число в этой "тройке чисел", как нарисовать конкретную силу в виде конкретной стрелки... А для сущностей "состояние фотона" - кет-вектор - я не понимаю этого перехода. Вот я и хочу понять на каком-либо конкретном примере как "состояние фотона" записать на бра-кет-алгебрном языке. Как выглядит кет-вектор, когда он расписан полностью, а не просто своим алгебраическим значком, например, $|R \rangle$. т.е. связь между кет-записью и физической реалией.

Сдается мне, что бра-кет-алгебра не намного сложнее обычной векторной алгебры. Но как переходят от физических явлений к этой алгебре я не понимаю, потому и спрашиваю.

[Eule_A]

granit201z в сообщении #1462026 писал(а):

Сдается мне, что бра-кет-алгебра не намного сложнее обычной векторной алгебры.

Вот это Вы напрасно. Несмотря на форму того, как это было сделано (впрочем, тут это уже никого не удивляет и не трогает, полагаю), функциональный анализ был упомянут вполне к месту. Он существенно сложнее векторной алгебры. Не знаю, насколько осознанно Вы провели аналогию с векторной алгеброй, но исходной точкой к понимаю функционального анализа может стать и она. Нужно, правда, понимать, что путь длинный предстоит. Но это лирика.

Если Вы откроете современный учебник квантовой механики, то увидите, что состояние системы описывается в терминах векторов в специальном пространстве (строго говоря, с геометрическим вектором тут общего - только название да алгебраические свойства; тут можно для начала вспомнить линейную алгебру, если Вы её изучали). На данный момент главное, что в этом пространстве определено скалярное произведение векторов. Существуют разные способы записать этот самый вектор - разные представления. Во многих учебниках где-то ближе к началу сразу вводится волновая функция, зависящая от пространственных координат. Эта функция характеризует состояние данной системы. Но далеко не всегда удобно описывать состояния такими функциями. Иногда удобно бывает характеризовать систему функцией импульсов. Иногда - ещё иначе. Между тем, это одно состояние - просто оно может быть выражено с помощью разных функций, в зависимости от того, с какой из них удобнее работать в данной задаче.

Не всегда нужно переходить к этим конкретным функциям. Достаточно работать "с самим состоянием", так сказать, "без посредников". А это и есть кет-вектор. Чтобы проиллюстрировать принцип суперпозиции, Дираку не потребовалось большего. Переварите для начала вот это. Попробуйте в этом свете перечитать первые параграфы у Дирака и, может быть, продвинуться ещё немного вперёд.

Оффтоп о (не)использовании стандартной терминологии функционального анализа в квантовой механике выделен в тему «Функциональный анализ в квантовой механике».

[Alex-Yu]

granit201z в сообщении #1462026 писал(а):

Вот я и хочу понять на каком-либо конкретном примере как "состояние фотона" записать на бра-кет-алгебрном языке. Как выглядит кет-вектор, когда он расписан полностью, а не просто своим алгебраическим значком, например, $|R \rangle$. т.е. связь между кет-записью и физической реалией.

Фактически вы говорите о физической интерпретации вектора состояния. Физическая интерпретация математического объекта -- это связь между этим объектом и измерениями. Вот последнее и нужно установить. Для этого достаточно дать физическую интерпретацию некого полного набора, базиса в пространстве векторов состояний, установить связь этих векторов с измерениями. Но сначала давайте немного уточним, что лучше взять массивную частицу, а не фотон (как у Дирака). Фотон всегда релятивисткий, лучше начать с нерелятивисткой теории. Таким образом, нам нужен набор состояний такой, чтобы любой вектор можно было представить в виде линейной комбинации векторов из этого набора. Замечательный факт заключается в том, что бывают такие состояния, когда измерение некой динамической величины, например импульса, всегда дает вполне определенное значение. Такие состояния называются собственными состояниями этой величины. Например может быть набор состояний с определенным импульсом (сколько разных импульсов, столько и базисных векторов -- континуум). Этот набор можно взять в качестве базиса с ясной физической интерпретацией, и все остальные векторы состояния представлять в виде разложения по этому базису. Квадраты модуля коэффициентов разложения это вероятность (или плотность вероятности, если разложение континуальное) того, что измерение даст именно это значение. Можно взять другой базис, например базис состояний с определенными координатами (для массивной частицы можно, а вот для фотона нельзя!). И разлогать по этим состояниям. И т.д. Отметим, что все такие наборы являются полными. Это физическое условие, вытекающее из того, что при измерении прибор всегда хоть что-нибудь да покажет. Так же чисто физическое требование заключается в том, что разные собственные векторы являются линейно независимыми. Действтительно, иначе измерение при собственном состоянии давало бы раз от раза разные результаты, что противоречит определению собственного состояния. После всего этого можно постороить оператор физической величины. Например, оператор импульса:

$$ \hat{p}=\int |p\rangle p \langle p | dp $$

Тогда очевидно, что

$$ \hat{p}|p\rangle = p |p\rangle $$

Т.е. оказывается, что собственные состояния (например импульса) являются собственными состояниями оператора импульса. Именно так: это есть следствие физических требований, а не какой-то там постулат.



Здесь подразумевается нормировка базисных векторов такая, что

$$ \int |p\rangle \langle p | dp =\hat{1} $$

где $\hat{1}$ -- единичный (тождественный) оператор.

[Ascold]

Цитата:

А для сущностей "состояние фотона" - кет-вектор - я не понимаю этого перехода. Вот я и хочу понять на каком-либо конкретном примере как "состояние фотона" записать на бра-кет-алгебрном языке. Как выглядит кет-вектор, когда он расписан полностью, а не просто своим алгебраическим значком, например, $|R \rangle$. т.е. связь между кет-записью и физической реалией.

Слыхали, что даже обычный, геометрический 3-мерный вектор в евклидовом пространстве, сам по себе фундаментальнее, чем его компоненты в конкретном базисе?(выше Вам про аналогичное положение дел в КМ написали). Другое дело, что палочка со стрелочкой непосредственно наглядна, в отличие от более абстрактного кет-вектора квантовой механики.
Я когда-то попробовал начать изучать КМ по Дираку - ужаснулся абстрактности, закрыл этот учебник, открыл ЛЛ3. Там тоже кое-что не понравилось(например, постулат о комплексности волновой функции), закрыл его тоже. Так добрался потихоньку до книг Бома и Шиффа, поразбирался с чисто волновой формулировкой квантовой механики и происхождением ур-я Шрёдингера, изучил разные представления волновой функции, понял, зачем операторы должны быть эрмитовыми и т.д. После этого бра-кет формализм воспринимается лучше. Возможно, Вам следует сделать так же.

[physicsworks]

Если хотите учебник по-проще, есть Townsend, A Modern Approach to Quantum Mechanics. Там очень подробно обсуждаются эксперименты (мысленные в том числе) Штерна-Герлаха и на основе их вводится понятия квантового состояния, с самого начала используется бра-кет нотация.

[beroal]

granit201z в сообщении #1462026 писал(а):

А для сущностей "состояние фотона" - кет-вектор - я не понимаю этого перехода. Вот я и хочу понять на каком-либо конкретном примере как "состояние фотона" записать на бра-кет-алгебрном языке. Как выглядит кет-вектор, когда он расписан полностью, а не просто своим алгебраическим значком, например, $|R \rangle$. т.е. связь между кет-записью и физической реалией.

Вставлю и свои 5 копеек. Конкретность бывает математическая и физическая.

Абстрактное ильбертово пространство — абстрактное понятие. В данном случае в качестве его модели можно взять $\mathbb{C}^2$ и положить $|A\rangle = (1, 0)$, $|B\rangle = (0, 1)$. Это математическая конкретность.

Потом можно положить, что $(c_1, c_2)\in\mathbb{C}^2$ описывает фотон такой, что $c_1$ задаёт амплитуду и фазу колебаний части электрического поля перпендикулярно оптической оси кристалла турмалина, и $c_2$ задаёт то же самое для части электрического поля вдоль оптической оси. Поляризация определяется тем, как колеблется вектор напряжённости электрического поля. Напряжённость электрического поля вдоль некоторой оси (перпендикулярной движению фотона) — это просто вещественное число, оно зависит от времени и места. Комплексное число $A e^{i\theta}$ задаёт амплитуду $A$ и фазу $\theta$ колебаний. Чтобы связать физическую фазу с математической, нужно задать время и место, где напряжённость части электрического поля была равна $0$ и начала расти. Поскольку напряжённость в пространстве меняется очень часто (длина волны) и во времени тоже (порядка $10^{15}$ Гц), не знаю, насколько это реалистично.