Розовый и синий шум

[Sicker]

Как себе на качественном уровне представить синий и розовые шумы? Насколько я знаю, случайный стационарный процесс описывается корреляционной функцией, которую можно разложить в интеграл Фурье. Белый шум это горизонтальная линия в частотной области, розовый шум это треугольник, синий шум конус.
Если развернуть горизонтальную линию из частотной области во временную, получим дельта-функцию для корреляционной функции, т.е. белый шум моделируется случайными числами с нулевой корреляцией между собой, что на временной диаграмме процесса представляет собой размытый прямоугольник. Когда я нашел временную диаграмму для розового шума, то она была похожа на сумму синусоиды и уменьшенного по амплитуде белого шума, но чем это отличается от белого шума? Ведь когда мы считаем корреляционную функцию, то берем за нулевые отсчеты матожидание случайной величины, т.е. смотрим только корреляции, а не смещения самих случайных величин. Получается сумма синусоиды и белого шума это тоже белый шум.
Я еще читал, что розовый шум отличается от белого тем, что локально он похож на белый, но только зависит от удаленных предыдущих значений. Это верно?
А что там для синего шума при аналогичном качественном объяснении?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: это все-таки не физика.

[Евгений Машеров]

Белый шум - шипение, розовый - шипение низкого тембра, броуновский (красный) - ещё более низкого. Синий - шипение высокого тембра, фиолетовый -ещё более высокого. Это то, что Вы хотели в качестве "качественного"?
Можно иначе. Белый - отдельные отсчёты независимы. Броуновский - интеграл от белого, розовый - интеграл порядка 1/2 от белого. Фиолетовый - дифференцированный белый, синий - производная порядка 1/2. И там, и там появляется зависимость от предыдущих, но разная. Положительная автокорреляция и отрицательная.

[wrest]

Sicker в сообщении #1461495 писал(а):

Как себе на качественном уровне представить синий и розовые шумы?

Скачайте приложение шумогенератор и послушайте. Например этот https://play.google.com/store/apps/deta ... ator.noise

[Sicker]

Евгений Машеров в сообщении #1461889 писал(а):

Это то, что Вы хотели в качестве "качественного"?

Нет

Евгений Машеров в сообщении #1461889 писал(а):

Можно иначе.

Вот это то что нужно

Евгений Машеров в сообщении #1461889 писал(а):

Броуновский - интеграл от белого

Т.е. винеровский процесс? Получается у него растет амплитуда со временем?

Евгений Машеров в сообщении #1461889 писал(а):

розовый - интеграл порядка 1/2 от белого

Как бы это представить...

Евгений Машеров в сообщении #1461889 писал(а):

Фиолетовый - дифференцированный белый

А разве если мы возьмем конечные разности соседних элементов от независимых отсчетов, то не получим такие же независимые отсчеты?
Еще пара вопросов
1) как выглядит шум, у которого одна частота? (т.е. спектральная плотность дельта-функция)
2) как можно получить все эти шумы? Например если есть только монетка

[Евгений Машеров]

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

А разве если мы возьмем конечные разности соседних элементов от независимых отсчетов, то не получим такие же независимые отсчеты?

Нет, конечно. Возьмите последовательные разности и посчитайте автокорреляции. У них слагаемое общее.

-- 12 май 2020, 06:06 --

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

1) как выглядит шум, у которого одна частота? (т.е. спектральная плотность дельта-функция)

Это не шум. Это синусоида.

-- 12 май 2020, 06:09 --

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

2) как можно получить все эти шумы? Например если есть только монетка

Авторегрессией, скажем. Или фильтрацией.

[Евгений Машеров]

Вообще получить шумовой сигнал посредством монетки не то, чтобы нельзя - кидаем и записываем двоичные разряды, пока не получим достаточную точность, но если вдруг придётся записываться в мазохисты, нельзя ли заменить плёткой?
Есть источники шума, действительно случайного (тепловой, ядерный распад) или псевдослучайного (мультипликативные генераторы, сдвиговые регистры - впрочем, у Кнута описано больше), иногда комбинируют истинную случайность с псевдо (начальные значения истинно случайные, и иногда вмешивают в последовательность псевдослучайных истинно случайные, это полезно потому, что псевдослучайные можно генерировать много и быстро, а истинно случайные получаются медленнее). Но, в общем, получить белый шум не столь сложно.
А "цветной" - если он задан желательным спектром мощности, то берём фрагменты белого шума, делаем Фурье, домножаем и обратное преобразование (тут есть тонкость, надо нулями дополнять, подробнее у Рабинера и Шафера, например, или в других пособиях по ЦОС). Можно сделать Фурье от спектра, получив АКФ и по ней построив авторегрессию, можно воспользоваться методами построения фильтров для заданной частотной характеристики. Для любой выбранной, хоть для "серо-буро-малинового шума".
Есть и аналоговые схемы. Скажем, заменив в дифференциаторе на операционном усилителе конденсатор на RC-цепочку, можно получить именно "синий", а не "фиолетовый", как при дифференцировании, аналогично "розовый" в интегрирующей схеме.

[Евгений Машеров]

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

А разве если мы возьмем конечные разности соседних элементов от независимых отсчетов, то не получим такие же независимые отсчеты?

$d_i=\xi_i-\xi_{i-1}$
$d_{i+1}=\xi_{i+1}-\xi_i$
$E(d_i d_{i+1})=E(\xi_i\xi_{i+1}-\xi_i\xi_i-\xi_{i-1}\xi_{i+1}+\xi_{i-1}\xi_i)=0-E(\xi_i^2)+0+0\ne 0$

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

Как бы это представить...

Добавлю к предыдущим словам про фурьение, что это и один из способов определить «полуинтеграл» для некоторых классов функций и т. п.: на образах действовать умножением на $(i\omega)^{-1/2}$, для «полупроизводной» умножать на $(i\omega)^{1/2}$.

[Евгений Машеров]

Только для просто розового (голубого, соответственно) шума можно умножать на желаемую частотную характеристику, действительную функцию от частоты, а для дробного дифференцирования/интегрирования надо работать в комплексной области. Если мы умножим фурье белого шума на действительную частотную характеристику, соответствующую дробному дифференцированию или интегрированию, мы получим соответственно голубой или розовый шум, являющийся дробной производной (интегралом) белого шума, но не того, который был взят вначале, фазы сдвинутся.
Ну и есть ещё пара-другая способов дробного Д-И.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1 ... 0%B8%D0%B5

[Sicker]

Евгений Машеров в сообщении #1461970 писал(а):

Это не шум. Это синусоида.

А, т.е. мы можем взять синусоиду со случайным сдвигом и это сойдет? А белый шум это получается интеграл от синусоид с рандомными смещениями, т.е. фазой?

[Евгений Машеров]

При расчёте спектра мощности фазовый сдвиг неглижируется. Что до белого шума - от "синусоиды со случайной фазой" он отличается непредсказуемостью. Синусоиду мы всегда можем продлить по трём точкам.

[Sicker]

Евгений Машеров в сообщении #1462312 писал(а):

фазовый сдвиг неглижируется

Можно поподробнее?

Евгений Машеров в сообщении #1462312 писал(а):

Что до белого шума - от "синусоиды со случайной фазой" он отличается непредсказуемостью

Это не про белый шум, а про

Sicker в сообщении #1461969 писал(а):

1) как выглядит шум, у которого одна частота? (т.е. спектральная плотность дельта-функция)

[Евгений Машеров]

"Шум, у которого одна частота" это коан покруче "звука хлопка одной рукой", одной рукой можно, скажем, по лысине хлопать. Если сигнал с одной частотой - это не шум. Он предсказуем полностью. Если спектр дельта-функция, то изменяться может лишь начальная фаза.
А когда мы считаем спектр мощности, то берём Фурье
${\displaystyle {\hat {x}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-i\omega t}\,dt}$
и от него модуль. А аргумент, в котором и сидит фаза, пренебрегается.
${\displaystyle S_{xx}(\omega )=\lim _{T\to \infty }\mathbf {E} \left[\left|{\hat {x}}(\omega )\right|^{2}\right]}$

[Sicker]

Евгений Машеров
Так сигнал с равномерным спектром на всех частотах это дельтообразный импульс, а не белый шум