Система уравнений в натуральных числах

[Antoshka]

Здравствуйте. Помогите разобраться, пожалуйста. Дана система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a+53b=c_1^2 \\ a+b=c_2^2 \\ \end{array} \right.$$

Известно, что $a,b,c_1,c_2\in\mathbb{N}$, причём $a,b$ разночетные натуральные числа,$a>b$. Требуется решить систему в натуральных числах. Я решил поступить так: перемножим уравнения системы. В результате получим квадратное уравнение относительно $a$, дискриминант которого $D/4=27^2b^2-53b^2+3c_1^2c_2^2=c_3^2,c_3\in\mathbb{N}\Leftrightarrow (26b)^2+3c_1^2c_2^2=c_3^2$. Имеет место тождество

$$(x^2+3y^2)(f^2+3h^2)=(xf-3yh)^2+3(xh+3yf)^2,f=x,y=h \Rightarrow (x^2+3y^2)^2=(x^2-3y^2)^2+3(2xy)^2$$

Следовательно имеем систему

$$\left\{ \begin{array}{lcl} 26b=x^2-3y^2\\ c_1c_2=2xy\\ c_3=x^2+3y^2,x,y\in\mathbb{N}\\ \end{array} \right.$$

Зная $c_1,c_2$ можно найти $a,b$

[nnosipov]

Ужас какой. Просто выразите $a$ и $b$ через $c_1$ и $c_2$, это же линейная система.

[Antoshka]

Здравствуйте ещё раз. Есть ещё такая задача. Решить в натуральных числах уравнение $5a^2+b^2=c^2,a,b,c\in\mathbb{N}$
Решение
Пусть числа $a,b,c$ попарно взаимно простые. В теории чисел есть теорема, что $c$ представляется в виде $c=5x^2+y^2,x,y\in\mathbb{N}$. Если такое представление невозможно, то простые делители числа $c$ обязаны оканчиваться на $7$, либо на $3$ и их должно быть четное количество. Имеет место тождество

$$(x^2+5y^2)(f^2+5h^2)=(xf-5yh)^2+5(xh+yf)^2,f=x,y=h \Rightarrow (x^2+5y^2)^2=(x^2-5y^2)^2+5(2xy)^2$$

Следовательно имеем систему

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a=2xy\\ b=x^2-5y^2 \\ c=x^2+5y^2\\ \end{array} \right.$$

Но это как-то просто, поэтому посмотрите пожалуйста кому не лень

[nnosipov]

Опять какой-то бред.

[Antoshka]

nnosipov в сообщении #1459974 писал(а):

Опять какой-то бред.

И в чем же бред?

[nnosipov]

У Вас даже ответ к задаче не выписан. В решении используется какая-то теорема, но формулировка ее не приводится, так что непонятно, о чем идет. Ну и вообще, общая неряшливость текста не позволяет считать это решением задачи.

Кстати, задача стандартная и решается так же, как и классическая задача про описание пифагоровых троек.

[Shadow]

Antoshka, я так понимаю, у Вас ВТФ - разминка для более серьезных задач, вроде эти.