Еще раз о точных квадратах

[nnosipov]

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b+c-2\sqrt{abc}=1$. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел есть точный квадрат.

P.S. Кажется, эту задачу здесь не обсуждали. Хотя, вполне вероятно, сводится к чему-то известному.

[rightways]

topic87273.html
Вот тут, но особо не обсуждали.
Ее можно по спуску Виета доказать

[nnosipov]

rightways
Спасибо. Значит, уже было.

[SiberianSemion]

У меня вопросы. В соотношении $(a+b+c-1)^2=4abc,$ фиксируя $b,c,$ получаем для $a$ квадратное уравнение. Пусть $a_1, a_2 -$ корни, один из которых соответствует исходному $a$. Формулы Виета:

$$a_1+a_2 = 4bc+2-2b-2c,$$ $$a_1a_2=b^2+c^2+2bc-2b-2c+1.$$

Видно, что $a_2 -$ целое положительное. Дальше как организовать спуск? Как получить оценку типа $a_2 < a_1$?

[nnosipov]

SiberianSemion У каждой подобной задачи есть своя специфика. Надо пробовать различные варианты спуска. Решите десяток таких задач, и уже будет понятно, как действовать. Вот моя попытка.

Будем доказывать утверждение методом от противного. Здесь напрашивается такой переход: $(a,b,c) \to ((b+c-1)^2/a,b,c)$. Ясно, что этот переход сохраняет отсутствие точных квадратов. Вот теперь нужно подыскать "норму", по которой вторая тройка оказалась бы меньше, чем первая. Я бы попробовал в качестве таковой произведение всех чисел данной тройки. Тогда условие уменьшения нормы сведется к неравенству $b+c<a+1$. Понятно, что мы с самого начала можем считать, что среди чисел $a$, $b$, $c$ нет равных. Тогда их можно упорядочить: $b<c<a$. Вот теперь самое интересное: надо понять, как отсюда вытащить нужное нам неравенство $b+c<a+1$. Как только мы это сделаем, шаг вниз (по нашей "норме") будет сделан.

Как можно доказывать неравенство $b+c<a+1$? Я бы просто выразил $a$ через $b$, $c$ (как корень квадратного уравнения; предварительно нужно определиться со знаком перед корнем из дискриминанта) и затем попробовал бы доказать, что неравенство выполняется при любых $b$, $c$. Вот такой план.

[Shadow]

SiberianSemion в сообщении #1411146 писал(а):

Дальше как организовать спуск? Как получить оценку типа $a_2 < a_1$?

Оценку, конечно, нужно получить. Но нужно еще показать и при каких значениях $b,c$ данное неравенство не будет выполнятся. (Иначе получится бесконечный спуск...решений нет). Пусть $a_1\ge b\ge c$. Допустим, что $a_2\ge a_1$. Мне часто (здесь тоже) помагает такое продолжение: Тогда

$(a_1-b)(a_2-b)\ge 0$

или

$a_1a_2-b(a_1+a_2)+b^2\ge 0$

Готовые формулы Виета - подставляем. Получаем, что только при $c=1$ такое возможно.

[rightways]

Здесь есть доказательство
https://artofproblemsolving.com/communi ... 8p10206609