Как определить, что время течет вспять в модели Гёделя

[Утундрий]

Затык? Используйте уравнение геодезических в форме

$$\frac{d}{{d\xi }}\left( {g_{\mu \alpha } \frac{{dx^\alpha }} {{d\xi }}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\partial g_{\alpha \beta } }}{{\partial x^\mu }}\frac{{dx^\alpha }}{{d\xi }}\frac{{dx^\beta }} {{d\xi }}$$

Сразу увидите три интеграла и одно интегрируемое уравнение, которое к тому же справедливо в силу тождества

$$g_{\alpha \beta } \frac{{dx^\alpha }}{{d\xi }}\frac{{dx^\beta }}{{d\xi }} = 0$$

[schekn]

Утундрий в сообщении #1460152 писал(а):

Затык? Используйте уравнение геодезических в форме

Основной затык это адская лень во время карантина. Но я еще не теряю надежды добраться до уравнений.

[Утундрий]

(Оффтоп)

В условиях, когда каждый может внезапно прекратить вещание - отговорка так себе.

[schekn]

Вышел из ступора.
Предлагается рассмотреть вот такую метрику, найденную Утундрий в post1458679.html#p1458679 и найти геодезические изотропные.

$$ds^2 = \left[ {dt - \left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\exp \left( {\frac{x}{{\sqrt 2 a}}} \right)dy} \right]\left[ {dt - \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\exp \left( {\frac{x}{{\sqrt 2 a}}} \right)dy} \right] - dx^2 \quad(8) $$

или что тоже самое:

$$ds^2=dt^2-dx^2-2\exp({\frac{x}{a\sqrt{2}}})dtdy+\frac{1}{2}\exp({\frac{\sqrt{2}x}{a}})dy^2-dz^2$$

Геодезические получились такие:

$$-\frac{{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\,\left( \frac{d}{d\,s}\,x\right) \,\left( \frac{d}{d\,s}\,y\right) -2\,\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) \,\left( \frac{d}{d\,s}\,x\right) -\sqrt{2}\,a\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,t\right) }{\sqrt{2}\,a}=0 \quad(9)$$

$$\frac{{e}^{\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,{\left( \frac{d}{d\,s}\,y\right) }^{2}-2\,\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) \,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\,\left( \frac{d}{d\,s}\,y\right) +{2}^{\frac{3}{2}}\,a\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,x\right) }{{2}^{\frac{3}{2}}\,a}=0 \quad(10)$$

$$\frac{{e}^{-\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,\left( a\,{e}^{\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{s}^{2}}\,y\right) +\sqrt{2}\,\left( \frac{d}{d\,s}\,t\right) \,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\,\left( \frac{d}{d\,s}\,x\right) \right) }{a}=0 \quad(11) $$

И добавлю из метрики уравнение на изотропные:

$$ds^2=0=(\frac{dt}{ds})^2-(\frac{dx}{ds})^2- 2\exp(\frac{x}{a\sqrt{2}})\frac{dt}{ds}\frac{dy}{ds}+\frac{1}{2}\exp(\frac{x\sqrt{2}}{a})(\frac{dy}{ds})^2 \quad(12)$$

Я бы убрал уравнение (10). $z=0$

-- 06.05.2020, 13:59 --

Далее можно заменить:

$\frac{dt}{ds}=u^0 \quad \frac{dx}{ds}=u^1 \quad \frac{dy}{ds}=u^2$

и получить такую систему:

$$\exp(\frac{x}{a\sqrt{2}})u^1u^2-2u^0u^1-\sqrt{2}a\frac{du^0}{dt}u^0=0 \quad(13)$$

$$a\exp(\frac{x\sqrt{2}}{a})\frac{du^2}{dt}u^0+\sqrt{2}\exp(\frac{x}{a\sqrt{2}})u^0u^1=0 \quad(14)$$

$$(u^0)^2-(u^1)^2-2\exp(\frac{x}{2\sqrt{2}})u^0u^2+\frac{1}{2}\exp(\frac{x\sqrt{2}}{a})(u^2)^2=0 \quad(15)$$

Дальше пока не думал.

-- 06.05.2020, 14:24 --

Если зафиксировать $x$ , то вроде решается несложно, я правда зря ушел от выражения $(8)$,
там уже готовое разложение на множители и две изотропные получаются сразу.

[Утундрий]

Вы поторопились расписать производные, хотя стоило бы заметить, что правая часть

$$\frac{d}{{d\xi }}\left( {g_{\mu \alpha } \frac{{dx^\alpha }} {{d\xi }}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\partial g_{\alpha \beta } }}{{\partial x^\mu }}\frac{{dx^\alpha }}{{d\xi }}\frac{{dx^\beta }} {{d\xi }}$$

отлична от нуля только при $\mu = 1$.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1460732 писал(а):

Вы поторопились расписать производные, хотя стоило бы заметить, что правая часть

Если честно, я взял готовую программу, и она мне выдала геодезические. То бишь немного не по вашему алгоритму.
Поэтому я не очень понимаю, где я поторопился.
Завтра попробую все таки посмотреть 2 частных случая.

[Утундрий]

Программа здесь совершенно не нужна. Распишите руками и увидите три уравнения вида "производная от чего-то равна нулю".

И ещё, не очень хорошо искать координаты как функции $s$, потому как $s$ вдоль изотропных линий не определена. В таких случаях принято вводить некий параметр (у меня это $\xi$), который просто параметр. Без какого либо геометрического смысла.

[schekn]

Проверил ваш вид выражения для геодезических, на это ушло некоторое время, но он действительно более функционально, о нем не знал раньше.
Тогда получилось без последнего выражения (для $z$).

$$\frac{d}{d\,\xi}\,\left( {u}^{0}-{u}^{2}\,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\right) =0 \quad(16)$$

$$\frac{d}{d\,\xi}\,\left( -{u}^{1}\right) =\frac{\frac{({u}^{2})^{2}\,{e}^{\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}}{\sqrt{2}\,a}-\frac{\sqrt{2}\,{u}^{0}\,{u}^{2}\,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}}{a}}{2} \quad(17)$$

$$\frac{d}{d\,\xi}\,\left( \frac{{u}^{2}\,{e}^{\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}}{2}-{u}^{0}\,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\right) =0 \quad(18)$$

система 16 и 18 после интегрирования дает :

$${u}^{0}=-{e}^{-\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,\left( 2\,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\,C_2+{e}^{\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,C_1\right) \quad(19) $$

$${u}^{2}=-{e}^{-\frac{\sqrt{2}\,x}{a}}\,\left( 2\,C_2+2\,{e}^{\frac{x}{\sqrt{2}\,a}}\,C_1\right) \quad(20)$$

Добавим еще из выражения (8):

$$[u^0-(1+\frac{1}{\sqrt{2}})\exp{\frac{x}{a\sqrt{2}}}u^2][u^0-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\exp{\frac{x}{a\sqrt{2}}}u^2]-(u^1)^2=0 \quad(21)$$

[Утундрий]

Теперь подставьте $u^\mu={dx^\mu }/{d\xi }$...

[schekn]

$$\frac{u^2}{u^0}=\frac{dy}{dt} \quad , \frac{u^1}{u^0}=\frac{dx}{dt} $$

Тогда (20) делим на (19) получаем:

$$\frac{dy}{dt}=2\frac{C_3+\exp({\frac{x}{a\sqrt{2}}})} {2C_3\exp({\frac{x}{a\sqrt{2}}})+\exp({\frac{x\sqrt{2}}{a}})}\quad , C_3=C_2/C_1 \quad(22)$$

Из (21) получаем:

$$[1-(1+\frac{1}{\sqrt{2}})\exp({\frac{x}{a\sqrt{2}})}\frac{dy}{dt}][1-(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\exp({\frac{x}{a\sqrt{2}})}\frac{dy}{dt}]-(\frac{dx}{dt})^2=0 \quad(23)$$

Собственно вот. Осталось понять как найти постоянную $C_3$.

Я думал сначала, что можно зафиксировать координату $x (x=0)$ и рассмотреть участок хотя бы $O-O_1$ , но кажется так будет неверно.

В общем эта система у меня не решается относительно $dx/dt$. Таких изотропных нет. Может накосячил?

[Утундрий]

Вы зря перешли к зависимости от $t$. Интегрировать проще, когда координаты - функции $\xi$.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1461805 писал(а):

Вы зря перешли к зависимости от $t$. Интегрировать проще, когда координаты - функции $\xi$.

Почему? Я всегда так делал.
В конце концов мне нужна зависимость $y(t), x(t)$.
Получил , что не решается.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1461807 писал(а):

В конце концов мне нужна зависимость $y(t), x(t)$.

Такая зависимость не выражается в элементарных функциях, а параметрическая - выражается.

P.S. И вон ту громоздкую экспоненту лучше принять за новую координату, вместо $x$.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1461809 писал(а):

И вон ту громоздкую экспоненту лучше принять за новую координату, вместо $x$.

До этого я допер и получил квадратное уравнение, которое не решается.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1461811 писал(а):

получил квадратное уравнение, которое не решается.

Ну, чтобы квадратное уравнение да не решалось...