Частота колебаний

[Norma]

Длина ненатянутой пружины $l$, жесткость пружины $k$, $OA=OB=l$. Найти частоту малых колебаний.

$V=V_1+V_2$

$V_1=-mg\frac{l}{2}\cos\varphi$

$V_2=\frac{k}{2}(2l\sin\frac{\varphi}{2}-l)^2$

$T=\frac{ml^2}{6}\dot{\varphi}^2=\frac{1}{2}A\dot{\varphi}^2$

$V''_{\varphi\varphi}(0)=-mg\frac{l}{2}+kl^2=B$

$w=\sqrt{\frac{B}{A}}=\sqrt{\frac{3(2kl-mg)}{2ml}}$. Но ответ неверный, и там почему-то рассматриваются два случая.

[DimaM]

Norma в сообщении #1458452 писал(а):

$V''_{\varphi\varphi}(0)=-mg\frac{l}{2}+kl^2=B$

А угол куда делся?

[Norma]

DimaM
Я подставил $\varphi=0$, хотя нужно было подставить $\pi$. И перед $mg$ должен стоять $+$.

[realeugene]

Norma в сообщении #1458452 писал(а):

и там почему-то рассматриваются два случая.

Не вчитывался, но чисто интуитивно, да, будет два различных состояния равновесия, когда $kl > mg$, и наоборот. Точнее, три, два из которых симметричны и существуют одновременно.

[DimaM]

Norma в сообщении #1458464 писал(а):

Я подставил $\varphi=0$

А нужно равновесный.
И, по-моему, у вашего $V_1$ знак неверный (при $\varphi=0$ должен быть максимум, а у вас минимум).

[Norma]

realeugene
А из каких соображений Вы получили эти два неравенства?

[realeugene]

Norma в сообщении #1458473 писал(а):

А из каких соображений Вы получили эти два неравенства?

На самом деле, нет, присмотревшись к рисунку я увидел, что неревенство будет другим, так как там стержень, а не точка, но соображение простое: устойчивость нижней точки в качестве положения равновесия. В случае точки можно сравнивать её вес с силой натяжения пружины, в этой задаче нужно сделать чуть сложнее и посмотреть, куда выпукла функция потенциальной энергии системы при $\varphi=0$? Очевидно, что для произвольного веса стержня нижняя точка не будет состоянием устойчивого равновесия для достаточно жесткой пружины.

[Norma]

realeugene
Вниз

[DimaM]

realeugene в сообщении #1458474 писал(а):

На самом деле, нет, присмотревшись к рисунку я увидел, что неревенство будет другим, так как там стержень, а не точка

Вроде бы именно таким: равенство моментов сил при малом отклонении ($\alpha$ - "нижний" угол от вертикали) дает

$$mg\frac{l}{2}\sin\alpha\approx kl^2\sin\frac{\alpha}{2},$$

что при $\alpha\ll 1$ как раз приводит к вашему исходному неравенству.

[realeugene]

Norma в сообщении #1458476 писал(а):

Вниз

Я вам уже подсказал: рассмотрите достаточно жесткую пружину. Представьте, как вам нужно её натянуть на этот стержень.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1458486 писал(а):

рассмотрите достаточно жесткую пружину

Или массу стержня к нулю устремить.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1458480 писал(а):

что при $\alpha\ll 1$ как раз приводит к вашему исходному неравенству.

Да, можно и через возвращающую силу, и, да, для точки меня количественная интуиция подвела.

[EUgeneUS]

Norma

При $\varphi = 0$ оба слагаемых потенциальной энергии должны иметь максимум.
Отсюда - потенциальная энергия пружины найдена неверно.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1458491 писал(а):

При $\varphi = 0$ оба слагаемых потенциальной энергии должны иметь максимум.
Отсюда - потенциальная энергия пружины найдена неверно.

У пружины как раз все нормально - там именно при $\varphi = 0$ максимум.
С другим слагаемым тоже, вроде, разобрались - знак был неправильный.

[EUgeneUS]

Нет там максимума.
Надо записать
$V_2=\frac{kl^2}{2}(2|\sin\frac{\varphi}{2}|-1)^2$
тогда будет максимум.
Впрочем, на последующие рассуждения про точки равновесия это не повлияет