2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Обоснование перехода к пределу по параметру
Сообщение27.04.2020, 16:22 
Не хватает знаний по матану в такой задаче. Пусть $F_c, F_s$ - косинус и синус преобразования Фурье при обычных определениях, постоянные перед ними не важны.
Составим выражение (регуляризацию)
$$
\lim_{\varepsilon \to 0} (F_c \exp(-\varepsilon t) F_s f).
$$
Задача: обосновать переход к пределу по параметру в образовавшемся после подстановки интегральных определений преобразований двойном интеграле. Спасибо.

 
 
 
 Re: Обоснование перехода к пределу по параметру
Сообщение07.05.2020, 14:12 
Ответов нет, попробую дополнить и уточнить вопрос.
Задача состоит в доказательстве связи между парой синус/косинус преобразований Фурье на полуоси
$$
(F_s f(x))(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty} \sin(xt) f(t)\,  dt \ \ ,
(F_c f(x))(t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^{\infty} \cos(xt) f(t)\,  dt
$$
и парой преобразований Гильберта на полуоси
$$
(H_1 f(x))(t)= \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{t}{t^2-x^2} f(x) \, dx \ \ ,
(H_2 f(x))(t)= \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{x}{x^2-t^2} f(x) \, dx \ \ .
$$
Все эти четыре преобразования на полуоси унитарны в $L_2(0;\infty)$.
Формулы связи между ними имеют вид:
$$
F_s F_c=H_1, F_c F_s=H_2.
$$
Эти формулы можно доказывать по-разному, попробуем метод регуляризации (предложено Э.Л.Шишкиной). А именно,
$$
(F_s \exp(-\varepsilon t) F_c f)(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}\exp(-\varepsilon t)\sin(xt)\,dt
\int_0^{\infty} \cos(yt) f(y)\,  dy=
$$
$$
=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}f(y)\,dy \int_0^{\infty}\exp(-\varepsilon t)(\sin(x-y)t+\sin(x+y)t)\,dt.
$$
Пара внутренних интегралов считаются по таблицам, получается
$$
=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}f(y)\left(\frac{x-y}{(x-y)^2+\varepsilon^2}+\frac{x+y}{(x+y)^2+\varepsilon^2}\right)\, dy,
$$

и если перейти к пределу при $\varepsilon \to \o$, то всё получается. Вопрос: как обосновать законность перехода к пределу в двойном интеграле при таком вычислении?

В теме post1458786.html#p1458786 по существу обсуждалась проверка этих
формул при помощи пакета МАТЕМАТИКА.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group