MATHEMATICA и интеграл

[novichok2018]

Пытаюсь заставить MATHEMATICA вычислить интеграл

$$ \int_0^\infty \frac{x}{(x^2-y^2)(1+x^2)}d\,y. $$

Она видимо не умеет без дополнительной помощи аккуратно считать несобственные, даёт похожий на правильный, но неточный ответ в виде комплексного выражения. Правильный ответ $\frac{x}{1+x^2}$.
Можно ей помочь дополнительными условиями, например, $x>0$, и уговорами , чтобы правильно вычислить этот интеграл? Спасибо.

[nnosipov]

Так интеграл даже не несобственный, а существует в смысле главного значения (value principal). Вот и надо это mathematica намекнуть.

Хотя здесь вроде и без всяких CAS все ясно.

-- Ср апр 29, 2020 15:31:17 --

novichok2018 в сообщении #1458786 писал(а):

вычислить интеграл

$$ \int_0^\infty \frac{x}{(x^2-y^2)(1+x^2)}d\,y. $$

А здесь опечаток нет? Maple пишет, что он равен нулю.

[Otta]

nnosipov в сообщении #1458788 писал(а):

А здесь опечаток нет?

Такое ощущение, что она там не одна.

Он и без пакетов равен нулю (v.p.), если $x$ -- вещественное, конечно. Если нет, то это и надо оговаривать. Но и тогда не получится анонсированное.

[nnosipov]

Otta в сообщении #1458796 писал(а):

если $x$ -- вещественное, конечно

А, вот про это я не подумал: ведь если считать $x$ комплексным (невещественным), то интеграл обычный несобственный.

[novichok2018]

Опечаток нет. Понятно, что главное значение, но как намекнуть, не расписывая пределы, есть способ? Икс действительный и даже положительный. На самом деле, есть такой факт, что композиция синус и косинус преобразований Фурье на положительной полупрямой при их стандартном определении есть пара преобразований Гильберта на полупрямой. Это одно из них, применённое к функции $\frac{1}{1+x^2}$. Эти преобразования унитарны в эль два на полуоси (точнее, с нужными множителями спереди, здесь это несущественно), вот взяли функцию из эль два. Композицию синус/косинус преобразований Фурье МАТЕМАТИКА считает хоть сразу, хоть по шагам, отсюда ответ. А вот с Гильбертом пока не получается то же самое.

-- 29.04.2020, 12:30 --

Да в интеграле была опечатка, простите. Нужно так:

$$ \int_0^\infty \frac{x}{(x^2-y^2)(1+y^2)}d\,y. $$

МАТЕМАТИКА даёт ответ с условием ConditionalExpression, он близок к правильному но содержит ненужное комплексное выражение.

[arseniiv]

novichok2018 в сообщении #1458800 писал(а):

Икс действительный и даже положительный.

Assuming[x > 0, интегрирование тут] уже пробовали?

UPD:
Хм, да, на Assuming[x > 0, Integrate[x/((x^2 - y^2) (1 + y^2)), {y, 0, Infinity}]] она отвечает, что не сходится.

UPD2:
Assuming[x > 0, Integrate[x/((x^2 - y^2) (1 + y^2)), {y, 0, Infinity}, PrincipalValue -> True]] даёт $\dfrac{\pi}2\dfrac x{1 + x^2}$.

[nnosipov]

В Maple вот так:

> assume(x>0);
> int(x/(x^2-y^2)/(x^2+1),y=0..infinity,CauchyPrincipalValue=true);

Видимо, я чего-то не понимаю (про Фурье-Гильберта уж наверняка).

[novichok2018]

nnosipov - у меня нет к сожалению MAPLE, как-то можно то же, но для МАТЕМАТИКИ? А MAPLE что даёт при Ваших дополнениях?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1458800 писал(а):

Да в интеграле была опечатка, простите.

Ну дык, это же совсем другое дело Теперь все сходится, но Maple еще добавляет в ответ множитель $\pi/2$. Ответ такой:

$$\frac{\pi x}{2(x^2+1)}.$$

Думаю, в mathematica тоже это есть. Поищите там по справке.

[arseniiv]

Угу, нашёлся в справке к Integrate параметр PrincipalValue -> True.

arseniiv в сообщении #1458803 писал(а):

UPD2:
Assuming[x > 0, Integrate[x/((x^2 - y^2) (1 + y^2)), {y, 0, Infinity}, PrincipalValue -> True]] даёт $\dfrac{\pi}2\dfrac x{1 + x^2}$.

[nnosipov]

arseniiv в сообщении #1458803 писал(а):

Хм, да, на Assuming[x > 0, Integrate[x/((x^2 - y^2) (1 + y^2)), {y, 0, Infinity}]] она отвечает, что не сходится.

И это правда: особенность $y=x$ не интегрируемая.

[novichok2018]

arseniiv, nnosipov -ура, с Вашей помощью победили, всё получилось. nnosipov - нормальная особенность, берётся по главному значению.

[kotenok gav]

novichok2018 в сообщении #1458786 писал(а):

MATHEMATICA

Не надо так ОРАТЬ.

[Otta]

kotenok gav
Не все Вас поймут. Попробуйте иначе.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1458812 писал(а):

нормальная особенность, берётся по главному значению

Так я же не против. Вспомнились по ассоциации еще полувычеты (из ТФКП). А больше никаких особенностей я и не знаю.

-- Ср апр 29, 2020 16:50:36 --

kotenok gav в сообщении #1458813 писал(а):

Не надо так ОРАТЬ.

Я реально вздрогнул