Либо квадрат, либо куб

[nnosipov]

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что число

$$\frac{x^3+y^2}{x^2y+1}$$

является целым. Докажите, что оно либо точный квадрат, либо точный куб.

P.S. Попутно можно выяснить, все ли точные квадраты (кубы) возможны.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1454899 писал(а):

Попутно можно выяснить, все ли точные квадраты (кубы) возможны.

Ну квадраты вроде тривиально возможны все.
Если $x=y^3$ то $\dfrac{x^3+y^2}{x^2y+1}=\dfrac{y^9+y^2}{y^7+1}=y^2$

А, ну и кубы туда же, при $y=x^5$ получается $\dfrac{x^3+y^2}{x^2y+1}=x^3$

[nnosipov]

wrest в сообщении #1454919 писал(а):

Ну квадраты вроде тривиально возможны все.

Да, точно, это действительно просто И с кубами та же история. ОК, дополнительный вопрос снят.

[rightways]

А верно ли что данное выражение всегда равно либо $(x,y)^2$ либо $(x,y)^3$ ?
где $(x,y)$ это НОД

[nnosipov]

rightways в сообщении #1456267 писал(а):

А верно ли что данное выражение всегда равно либо $(x,y)^2$ либо $(x,y)^3$ ?
где $(x,y)$ это НОД

Да, верно.

[rightways]

Все решил. Задача доказывается через такое обобщение:
Пусть $a,b,x,y,k$ натуральные числа. Причем

$$k=\frac{ax^2+y^2}{abxy+1}$$

Тогда $k=d^2$ или $k=ad^2$ , где $d=НОД(x,y)^2$.

Последний факт доказывается по Vieta Jumping.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1456582 писал(а):

Пусть $a,b,x,y,k$ натуральные числа. Причем

$$k=\frac{ax^2+y^2}{abxy+1}$$

Тогда $k=d^2$ или $k=ad^2$ , где $d=НОД(x,y)^2$.

А как отсюда вытекает утверждение задачи? Допустим, можно взять $a=x$ и $b=1$, тогда получим $k=d^2$ (точный квадрат) или $k=xd^2$. Почему последнее выражение есть точный куб?

Upd. Только сейчас заметил: у Вас $d=(x,y)^2$. Наверное, здесь опечатка, нужно $d=(x,y)$.

[rightways]

Да, я имел в виду $d=(x,y)$.
Во втором варианте в случае при $k=xd^2$ у меня вышло что $x=d$ следовательно $k=d^3$.

А у вас какое решение?

[nnosipov]

rightways в сообщении #1456735 писал(а):

Во втором варианте в случае при $k=xd^2$ у меня вышло что $x=d$ следовательно $k=d^3$.

Здесь нужны подробности. Само утверждение про пять натуральных чисел мне более-менее понятно (и оно заслуживает статуса отдельной содержательной задачи). Я не понимаю, как из него формально вывести то, что нужно.

Мое решение основано на совершенно другой идее. Сейчас мне хочется понять, является ли эта идея одноразовой или же можно говорить о некотором методе. Пока не понял, там хватает технических деталей.

[rightways]

Пусть

$$\frac{x^3+y^2}{x^2y+1}=k=xd^2$$

Заменим числа $x,y$ на $x=ad$ и $y=bd$ , тогда

$$\frac{a^3d^3+b^2d^2}{a^2bd^3+1}=ad^3$$

или

$$a^3d+b^2=(a^2bd^3+1)ad$$

следовательно $a^3d+b^2$ делится на $a$, откуда $a=1$, так как $(a,b)=1$. Отсюда $k=xd^2=ad^3=d^3$

[nnosipov]

Да, теперь все ОК.

[scwec]

Возможно, будет интересно.
Для любых рациональных $m\ne{0},n,N$
Уравнение $\dfrac{x^3+y^2}{n+myx^2}=N$ имеет решения в рациональных числах $x,y$
Например,
$x=-\dfrac{1}{2}\dfrac{27N^7{m^6}n-1+N^{21}{m^{18}}n^3-11N^{14}{m^{12}}n^2}{N^2{m^2}(-3+N^{14}{m^{12}}n^2-6N^7{m^6}n)}$
$y=\dfrac{1}{4}\dfrac{-14N^{21}{m^{18}}n^3+56N^{14}{m^{12}}n^2-42N^7{m^6}n+N^{28}{m^{24}}n^4-1}{N^3{m^3}(-3+N^{14}m^{12}{n^2}-6N^7{m^6}n)}$
При $m=n=1$ для $x,y$ можно получить более простые и красивые выражения, используя другую рациональную точку бесконечного порядка на соответствующей исходному уравнению эллиптической кривой.

[rightways]

nnosipov
А как вы получили этот результат(ну эту задачу), какое ваше доказательство?

[nnosipov]

rightways
Я позже обязательно напишу. Мне хочется понять, будет ли работать мое рассуждение в случае дроби типа

$$\frac{x^3+x+y^2}{x^2y+1}.$$

Кстати, а Ваше рассуждение можно приспособить к этому случаю? Вообще, что делать в общем случае, когда дробь имеет вид

$$\frac{f(x)+y^2}{x^2y+1},$$

где $f(x)$ --- произвольный кубический многочлен?

[rightways]

nnosipov
В общем, я порешал вот это

$$k=\frac{x^3+x+y^2}{x^2y+1}$$

И вроде доказал что оно равно 1. Если я не ошибся.
Решал я ее в таком виде:
Если

$$k=\frac{ax^2+y^2+a}{axy+1}$$

целое, то оно равно $1, a+d^2$ или $ad^2+a$. Где $d$ это НОД $x,y$.
Потом я проверил варианты $a+d^2$ и $ad^2+a$ и у меня вышло что нет решении.
А вот в случий $k=1$ я зашел в тупик:
При решении уравнения

$$ax^2+y^2+a=axy+1$$

я не смог ограничить $a$.

Но возможно я где то ошибся с тем что $k=1$, там много вычислении было.