Якобиан двузначных функций

[AndrewX]

Есть два полярных угла \theta_{S},\theta^{'}_{S}, меняющихся в пределах (0,\pi). Они связаны соотношением

\tan(\theta_{S}) = \frac{1}{\gamma_{h}}\frac{\beta^{'}_{S}\sin(\theta^{'}_{S})}{\beta^{'}_{S}\cos(\theta_{S}^{'})+\beta_{h}}

Здесь \gamma_{h}>1, 0<\beta'_{S}<1, 0<1<\beta_{h} - параметры.

В области параметров \beta_{h}>\beta_{S}^{'} выражение для \theta_{S}^{'} в терминах \theta_{S} двузначно: решения

\cos(\theta_{S}^{'}) = f_{\pm}(\theta_{S}) = -\frac{\beta_{h}\gamma_{h}^{2}\tan^{2}(\theta_{S})\pm\sqrt{\beta_{S}^{'2}+(\beta_{S}^{'2}-\beta_{h}^{2})\gamma_{h}^{2}\tan^{2}(\theta_{S})}}{\beta_{S}^{'}(1+\gamma_{h}^{2}\tan^{2}(\theta_{S}))}

существуют одновременно и покрывают всю область определения \theta_{S}^{'}.

Подскажите, пожалуйста, как вычислить якобиан J = d\cos(\theta^{'}_{S})/d\cos(\theta_{S})? Моя догадка -

J = \left|\frac{df_{+}(\theta_{S})}{d\cos(\theta_{S})}\right|+\left|\frac{df_{-}(\theta_{S})}{d\cos(\theta_{S})}\right|,

но я не могу её аргументировать строго (кроме формальности - интеграл от якобиана равен двойке).

[mihiv]

AndrewX в сообщении #1452925 писал(а):

Есть два полярных угла \theta_{S},\theta^{'}_{S}, меняющихся в пределах (0,\pi). Они связаны соотношением

\tan(\theta_{S}) = \frac{1}{\gamma_{h}}\frac{\beta^{'}_{S}\sin(\theta^{'}_{S})}{\beta^{'}_{S}\cos(\theta_{S}^{'})+\beta_{h}}

Что-то не сходится. При каком $\theta '_S $ угол $\theta _S=\frac {\pi}{2}?$

[Утундрий]

Лично мне (хотя это дело вкуса) всегда приятнее считать якобиан явно предъявленного преобразования. Иначе трудно вообще говорить о каком-то якобиане. Итак, кто у нас ${\mathbf{x}}$, а кто ${\mathbf{x'}}$ в этой истории?