Тут надо разобраться с тем, что такое аксиоматическое построение геометрии.
М, ну ещё я бы сказал, что если бы мы жили в явно гиперболическом пространстве (с кривизной, ощутимой на бытовых масштабах, чтобы знать, что это точно оно), мы бы вполне чертили прямые по линейке. А вот то что в некоторых
моделях этой геометрии, представимых в нашем евклидовом пространстве, прямые выглядят кривыми — ну на то они м модели, от них требуется передавать свойства не прямым образом (толку тогда от такой модели), а каким-то просто нам известным. Кроме того в проективной модели прямые прямые. Но мне нравится Пуанкаре сохранением углов.
А "длина" определяется как?
А как определяется евклидова длина? Ничем не лучше. А насчёт длины в моделях — в каждой по-своему.
-- Сб апр 04, 2020 16:30:17 --Вот эллиптическая геометрия реализуется в евклидовом пространстве куда понятнее — берём сферу, расстояния меряем обычным образом, просто по ней; углы меряются обычным образом. И ровно такое же вложение есть евклидова пространства как орицикла в гиперболическое. Но вот в обратную сторону ждать не стоит, и даже понятно на пальцах почему: в пространстве постоянной кривизны
можно засунуть лишь поверхность постоянной кривизны
, так что вот вам пожалуйста эллиптическая геометрия на сфере везде где есть сфера и вот вам пожалуйста евклидова на орицикле везде где есть орицикл. В каком-то смысле это напоминает ситуацию с попытками объяснения квантовой механики через классическую, когда правильно наоборот, только тут у нас есть радость иметь довольно вразумительные модели типа Пуанкаре и в обратном направлении.
Есть ещё модель на гиперболоиде в псевдоевклидовом пространстве. Вот она в таком же смысле хороша как и модель эллиптической геометрии на сфере в евклидовом. Но псевдоевклидово пространство опять же не имеет вразумительной в таком смысле модели в евклидовом.
-- Сб апр 04, 2020 16:33:27 --(В математической терминологии «А в Б — вразумительная модель В» будет «А — подмногообразие (псевдо)риманова многообразия Б, и А изоморфно (псевдо)риманову многообразию В». Псевдо- приходится добавлять, чтобы учесть пример с моделью на гиперболоиде.)
)