Теория вероятностей: модифицированная задача о разорении

[marie-la]

Рассмотрим следующую игру. У игроков $A$, $B$ и $C$ лежит в кошельке
соответственно $l$, $m$ и $n$ одинаковых монет. Каждый раунд состоит в следующем. Каждый
игрок сначала выбирает одну из имеющихся у него монет и затем все трое одновременно
подбрасывают каждый свою монету. Если две монеты выпали одинаковой стороной,
владельцы этих монет отдают их третьему игроку. Если все монеты выпали одинаковой
стороной, раунд повторяется. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из игроков не
закончатся монеты. Чему равно среднее число раундов до окончания игры при
$l=4$, $m=7$, $n=9$, если вероятность выпадения орла равна $0.4$?

Тут система линейных уравнений выходит на средние времена из разных состояний. И количество уравнений огромное - даже с учетом симметрии их выходит 30 штук. Как проще решить, подскажите, пожалуйста!

[Утундрий]

Правильно ли я понимаю, что вероятности игрокам стрясти с оппонентов по монете - одинаковы?

[marie-la]

Да, вероятности одинаковы. Из-за этого симметрия.
Я сделала как писала - выписала матрицу размера 33, нашла обратную и решение задачи (численно, конечно). Потом я подобрала формулу:
$ET(l,m,n)=25/18+25/324(lmn-l-m-n+2)$
Теперь, конечно, я могу написать "докажем, что". Но как-то это не очень хорошо, хотелось бы эту формулу получить каким-то нормальным способом.

[Geen]

Какова вероятность выпадения всех трёх монет одинаковой стороной?

[marie-la]

$0.28$ вероятность, что все монеты одной стороной выпадут

[Утундрий]

Geen в сообщении #1450817 писал(а):

Какова вероятность выпадения всех трёх монет одинаковой стороной?

А какая разница? Насколько можно понять из условия, при повторном розыгрыше предыстория не учитывается. Значит, можно просто считать, что в каждом завершённом раунде с частотой $1/3$ выигрывает любой из трёх.

[marie-la]

Если будем так считать, то для начальных сумм $1,1,1$ игра сразу закончится, среднее время игры будет 1. А это не так, поскольку может несколько раз быть ничья.

[Padawan]

Ну умножьте на среднюю продолжительность одного раунда (количество бросков между двумя выигрышами)

[marie-la]

Да, это понятно. Можем считать, что один из игроков всегда выигрывает. От этого легче не становится :(

[Padawan]

Рекуррентное уравнение можете записать на искомую функцию $f(l,m,n)$?

[marie-la]

$f(l,m,n)=(f(l-1,m-1,n+2)+f(l-1,m+2,n-1)+f(l+2,m-1,n-1))/3+1$

(Считаем, что всегда кто-то выигрывает)

[Padawan]

Ну сейчас какие-то начальные условия и вычисляйте последовательно.

[Someone]

marie-la в сообщении #1450863 писал(а):

Считаем, что всегда кто-то выигрывает

А если так не считать?

[marie-la]

Someone в сообщении #1450869 писал(а):

marie-la в сообщении #1450863 писал(а):

Считаем, что всегда кто-то выигрывает

А если так не считать?

То выйдет $25/18$ вместо $1$

-- 03.04.2020, 17:41 --

Padawan в сообщении #1450868 писал(а):

Ну сейчас какие-то начальные условия и вычисляйте последовательно.

Так вот именно и выходит система 33 уравнений.
Я вот думаю - наверное, можно доказать как-то из уравнения, что функция есть полином не более чем 3 степени от 3 переменных. Тогда из симметрии вид довольно простой выходит. И можно из начальных условий получить решение.
Но вот как это доказать?

[Padawan]

Зачем 33 уравнения? Там разве последовательно не получается их находить, один за другим? А в общем виде можно попробовать решить методом производящих функций. Пусть $F(x,y,z)=\sum_{l,m,n\geqslant 0} f(l,m,n)x^ly^mz^n$. Попробуйте интерпретировать рекуррентное уравнение на коэффициенты как уравнение на $F(x,y,z)$.

-- Пт апр 03, 2020 18:58:38 --

Также можно исходную задачи свести к стандартной задаче для двух игроков. Представьте, что $B$ и $C$ это один игрок с $m+n$ монетами. Нет, так наверное не получится.