Теория вероятностей: модифицированная задача о разорении

[marie-la]

Нет, последовательно не выходит. Вот, начнем выписывать:
$3f(4,7,9)=f(3,6,11)+f(3,8,9)+f(6,6,8)+3$
$3f(3,6,11)=f(2,5,13)+f(2,8,10)+f(5,5,10)+3$
$3f(3,8,9)=f(2,8,10)+f(2,7,11)+f(5,7,8)+3$

Уже 9 разных точек, и конца-края этому не видно.

-- 03.04.2020, 18:25 --

Да, придется методом производящих функций, спасибо.

[Padawan]

Да, действительно, $f(l,m,n)$ к меньшим не сводится. Сумма-то $l+m+n$ постоянная остается.

[DeBill]

marie-la
Попробуйте угадать ответ, типа, не годится ли что-нить вроде $f(i,j,k)= c\cdot ijk$

[marie-la]

Я уже угадала ведь, выше написала. В самом простом виде это действительно будет $25/324 lmn$.
Вопрос был с тем, как доказать, что решение системы единственно.
Пока что то, что я придумала - написать, что имеем дело с поглощающей марковской цепью с конечным числом состояний, а для нее известно, что матрица, через которую записывается система, обратима, то есть решение единственно.

[DeBill]

marie-la в сообщении #1451093 писал(а):

Я уже угадала ведь, выше написала.

А, ну да. Только еще надо проверку сделать (проверить, что выполняются те рек. соотношения.)

marie-la в сообщении #1451093 писал(а):

имеем дело с поглощающей марковской цепью с конечным числом состояний, а для нее известно, что матрица, через которую записывается система, обратима,

Можно еще единственность показать так. Соответствующая однородная система уравнений задает на графе (состояний) дискретную гармоническую функцию (значение функции в вершине равно среднему арифметическому значений в соседних вершинах). Тогда принцип максимума дает: эта функция равна нулю (кустарно: возьмем вершину, в которой функция принимает наибольшее значение. Тогда в соседних вершинах она также максимальна., и т.д. Связность графа дает: она неположительна, ибо в граничных (поглощающих) точках - нулевая. Аналогично с минимумом)

[marie-la]

DeBill в сообщении #1451131 писал(а):

А, ну да. Только еще надо проверку сделать (проверить, что выполняются те рек. соотношения.)

Да, конечно, я проверила.

-- 05.04.2020, 16:18 --

DeBill в сообщении #1451131 писал(а):

Можно еще единственность показать так. Соответствующая однородная система уравнений задает на графе (состояний) дискретную гармоническую функцию (значение функции в вершине равно среднему арифметическому значений в соседних вершинах). Тогда принцип максимума дает: эта функция равна нулю (кустарно: возьмем вершину, в которой функция принимает наибольшее значение. Тогда в соседних вершинах она также максимальна., и т.д. Связность графа дает: она неположительна, ибо в граничных (поглощающих) точках - нулевая. Аналогично с минимумом)

Ох, мне вероятностный подход проще, тем более тут дискретная гармоническая функция очень специфическая - соседние точки на плоскости берутся, а не в пространстве.