Из: Пример нетривиальной функции (138304-15))

[Скорцонер]

Такую функцию легко построить. Сначала перенумеруем все рациональные числа натуральными числами n, (где n изменяется от единицы до бесконечности) согласно диагональной процедуре Кантора, так, что каждое рациональное число q будет иметь свой номер n(q), и определим f(x) = Σ 2^(-n)Θ(x - βq(n)),
Здесь Θ(x) - ступенчатая функция Хевисайда, равная нулю при x <= 0, и равная 1 при x > 0 ;
β - фиксированное иррациональное число,
а сумма берется по всем тем значениям n, которым соответствуют номера всех рациональных чисел, для которых величина βq(n) лежит левее точки x.
Тогда функция f(x) в каждой рациональной точке будет равна сумме функций, каждая из которых постоянна (равна сумме констант, отрицательных степеней двойки) в некоторой окрестности точки х. Поэтому ее производная равна нулю в каждой рациональной точке, а сама функция не убывает, и испытывает скачки величиной 2^(-n) во всех иррациональных точках вида βq(n), где q(n) - рациональное число с номером n. При этом f(x) стремится к нулю на минус бесконечности, и к единице на плюс бесконечности.
Кроме того, производная от f(x) будет равна нулю также и во всех иррациональных точках, которые не являются точками вида βq(n).

[Someone]

Скорцонер, функция Хевисайда не имеет производной в точке скачка. А требовалась функция, имеющая производную.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.