Компенсирующая вариация дохода

[comma]

Решаю задачу:
Индивид тратит весь свой доход, равный 24, на приобретение двух
продуктов. Функция полезности индивида имеет вид $U(x_1,x_2)=x_1^{0,5} x_2^{0,5}$
Известно, что при изменении цены первого продукта и неизменной цене
второго продукта, равной 1, эквивалентное изменение (эквивалентная
вариация) дохода по Хиксу составило (–12). Тогда компенсационное изменение (компенсирующая вариация) дохода по Хиксу составило:10;16;24;36


Я нашла спрос при изначальных и измененных ценах:
($x_1^*,x_2^*)=(\frac{12}{p_1},12)$
($\hat{x_1},\hat{x_2})=(\frac{12}{p_1^*},12)$

Подставила в функцию полезности для эквивалентного, но не совсем понимаю как дальше раскрутить

$\frac{m}{2p_1}^{0,5}\cdot \frac{m}{2}^{0,5}=\frac{12}{p_1^*}12^{0,5}$

Буду благодарна за подсказку

[NikolayPrimachenko]

Если в двух словах, то для начала надо решить задачу в общем виде. Т.е. найти чему равно $U$ при $p_1x_1 + 1x_2 = a$. При этом $U$ будет зависеть от $a$, т.е. от бюджетного ограничения, и от $p_1$. Т.е. нужно решить задачу максимизации в общем виде. А дальше по определению эквивалентной и компенсирующей вариации подставлять числа и искать $a_{\text{комп}}$, т.е. скомпенсированный бюджет, и соответствующую компенсацию.

-- 27.03.2020, 05:47 --

NikolayPrimachenko в сообщении #1447610 писал(а):

При этом $U$ будет зависеть от $a$, т.е. от бюджетного ограничения, и от $p_1$.

Для ориентировки: получится что-то такое

$$U = \frac {a}{2 \sqrt{p_1}}$$

Я не проверял. Возможно, здесь ошибка. Но должно быть понятно, к чему стремиться.

[NikolayPrimachenko]

Перепроверил. Кажется, правильно. Но я путаюсь с этими нижними индексами, поэтому лучше записать задачу так:

Бюджетное ограничение: $px + 1y = a.$
Полезность: $U(x, y) = \sqrt{xy} \to \text{max}.$
Другие ограничения: $0 \leq x, 0 \leq y, 0 < p.$

Так удобнее.

Идея решения такая: перейти от $U(x, y)$ к $U(a, p)$. Сначала с помощью бюджетного ограничения исключаем переменную $y$ из $U(x, y)$. Находим производную по $x$ получившейся функции трёх переменных $U(x, a, p)$ и приравниваем эту производную нулю. Так получаем еще одно ограничение, с помощью которого исключаем $x$ из $U(x, a, p)$. Ну, и получается то, что выше:

$$U_\text{max}(a, p) = \frac {a}{2 \sqrt{p}}$$

Дальше можем найти, при $a_0=24,$

• полезность до изменения цены $U_0 = U_\text{max}(a_0, p_0),$
• и полезность после изменения цены $U_1 = U_\text{max}(a_0, p_1)$

Эквивалентная вариация --- это как нужно было бы изменить бюджет при неизменной первоначальной цене $p_0$, чтобы потребляемая полезность стала такой же, как после изменения цены. По условию задачи:

$$a_\text{э} = a_0-12 = 12,$$ $$U_\text{max}(a_\text{э}, p_0) = U_1.$$

Отсюда можно найти отношение $p_0$ и $p_1$.

Компенсационное изменение --- это такое изменение дохода при уже изменившейся цене, которое скомпенсирует изменение потребляемой полезности. То есть:

$$U_\text{max}(a_\text{к}, p_1) = U_0,$$

Здесь, зная отношение $p_0$ и $p_1$, можно найти $a_\text{к}$ и затем $(a_\text{к} - a_0),$ то есть само компенсационное изменение бюджета.

Как-то так.