2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Компенсирующая вариация дохода
Сообщение24.03.2020, 10:12 


19/06/19
4
Решаю задачу:
Индивид тратит весь свой доход, равный 24, на приобретение двух
продуктов. Функция полезности индивида имеет вид $U(x_1,x_2)=x_1^{0,5} x_2^{0,5}$
Известно, что при изменении цены первого продукта и неизменной цене
второго продукта, равной 1, эквивалентное изменение (эквивалентная
вариация) дохода по Хиксу составило (–12). Тогда компенсационное изменение (компенсирующая вариация) дохода по Хиксу составило:10;16;24;36


Я нашла спрос при изначальных и измененных ценах:
($x_1^*,x_2^*)=(\frac{12}{p_1},12)$
($\hat{x_1},\hat{x_2})=(\frac{12}{p_1^*},12)$

Подставила в функцию полезности для эквивалентного, но не совсем понимаю как дальше раскрутить

$\frac{m}{2p_1}^{0,5}\cdot \frac{m}{2}^{0,5}=\frac{12}{p_1^*}12^{0,5}$

Буду благодарна за подсказку

 Профиль  
                  
 
 Re: Компенсирующая вариация дохода
Сообщение27.03.2020, 08:24 
Аватара пользователя


22/06/17
291
Если в двух словах, то для начала надо решить задачу в общем виде. Т.е. найти чему равно $U$ при $p_1x_1 + 1x_2 = a$. При этом $U$ будет зависеть от $a$, т.е. от бюджетного ограничения, и от $p_1$. Т.е. нужно решить задачу максимизации в общем виде. А дальше по определению эквивалентной и компенсирующей вариации подставлять числа и искать $a_{\text{комп}}$, т.е. скомпенсированный бюджет, и соответствующую компенсацию.

-- 27.03.2020, 05:47 --

NikolayPrimachenko в сообщении #1447610 писал(а):
При этом $U$ будет зависеть от $a$, т.е. от бюджетного ограничения, и от $p_1$.
Для ориентировки: получится что-то такое $$U = \frac {a}{2 \sqrt{p_1}}$$
Я не проверял. Возможно, здесь ошибка. Но должно быть понятно, к чему стремиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компенсирующая вариация дохода
Сообщение27.03.2020, 16:26 
Аватара пользователя


22/06/17
291
Перепроверил. Кажется, правильно. Но я путаюсь с этими нижними индексами, поэтому лучше записать задачу так:
    Бюджетное ограничение: $px + 1y = a.$
    Полезность: $U(x, y) = \sqrt{xy} \to \text{max}.$
    Другие ограничения: $0 \leq x, 0 \leq y, 0 < p.$
Так удобнее.

Идея решения такая: перейти от $U(x, y)$ к $U(a, p)$. Сначала с помощью бюджетного ограничения исключаем переменную $y$ из $U(x, y)$. Находим производную по $x$ получившейся функции трёх переменных $U(x, a, p)$ и приравниваем эту производную нулю. Так получаем еще одно ограничение, с помощью которого исключаем $x$ из $U(x, a, p)$. Ну, и получается то, что выше:
$$U_\text{max}(a, p) = \frac {a}{2 \sqrt{p}}$$

Дальше можем найти, при $a_0=24,$
  • полезность до изменения цены $U_0 = U_\text{max}(a_0, p_0),$
  • и полезность после изменения цены $U_1 = U_\text{max}(a_0, p_1)$

Эквивалентная вариация --- это как нужно было бы изменить бюджет при неизменной первоначальной цене $p_0$, чтобы потребляемая полезность стала такой же, как после изменения цены. По условию задачи:
$$a_\text{э} = a_0-12 = 12,$$
$$U_\text{max}(a_\text{э}, p_0) = U_1.$$
Отсюда можно найти отношение $p_0$ и $p_1$.

Компенсационное изменение --- это такое изменение дохода при уже изменившейся цене, которое скомпенсирует изменение потребляемой полезности. То есть:
$$U_\text{max}(a_\text{к}, p_1) = U_0,$$
Здесь, зная отношение $p_0$ и $p_1$, можно найти $a_\text{к}$ и затем $(a_\text{к} - a_0),$ то есть само компенсационное изменение бюджета.

Как-то так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group