Система неравенств с четырьмя натуральными числами

[nnosipov]

Существуют ли такие натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$, что $0<a^2-(db^2-1)(dc^2-1)<d-1$?

[waxtep]

Эх, попытка недорешения (доказать что нет); запишем:

$$a^2=(bcd)^2-(b^2+c^2)d+y,2\leqslant y\leqslant d-1$$

и $a=bcd-w,w^2\equiv y\pmod d$. Теперь, вот если бы можно было сказать, что $y=w^2$, то мы бы пришли к $b^2+c^2=2wbc$, что имеет решения в натуральных только при $w=1$, чего в нашем случае быть не может, т.к. $w^2$ по условию не единица по модулю $d$. Но так сказать нельзя, вообще говоря, мы имеем $b^2+c^2=2wbc-k$, где $k=\frac{w^2-y}d$ некое число, про которое можно только сказать, что оно чем-то ограничено сверху и снизу, и тут я встал в тупик...

[nnosipov]

waxtep
Спасибо. В принципе, там (я имею в виду доказательство невозможности) все несложно, но ... Вот мне и интересно, насколько это очевидно.

Кстати, можете заглянуть и сюда topic139141.html, и сюда topic138459.html. Это одного поля ягоды.

[waxtep]

Спасибо, да, я так и понял, что это родственные задачи, но какой-то военной хитрости, чтобы довести это до победы не хватает. Вообще это конечно удивительно, ограничения, выглядящие на первый взгляд произвольными, оказываются жутко сильными!

[rightways]

nnosipov в сообщении #1443337 писал(а):

Существуют ли такие натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$, что $0<a^2-(db^2-1)(dc^2-1)<d-1$?

Делаем замену $a=bcd-x$ и берем $a^2-(db^2-1)(dc^2-1)=k$. Получим

$$x^2+db^2+dc^2=2dxbc+k$$

при условии $k<d-1$. Дальше по пружку Виета. Решать доконца лень). Думаю решения для d нет. И если нет, то является ли $d-1$ наибольшим ограничением?

-- 22.04.2020, 14:26 --

А вот в этой задаче topic138459.html никак не могу найти подходящую замену для $x$.

[nnosipov]

rightways в сообщении #1456978 писал(а):

А вот в этой задаче topic138459.html никак не могу найти подходящую замену для $x$.

Значит, что-то новенькое есть.

По поводу остальных задач этого цикла: так нечестно, нужны нормальные, подробные решения, чтобы можно было хотя бы сравнить технологии. Я вот не ленюсь писать подробно, во всяком случае, по первой же просьбе.