Равенство с четырьмя натуральными числами

[nnosipov]

Натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $a^2-(c^2d^2-d)b^2=-c^2d$. Найдите $d$.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1442382 писал(а):

что $a^2-(c^2d^2-d)b^2=-c^2d$. Найдите $d$.

(Ответ)

$d=2$, например при $a=4;b=1;c=3$

[nnosipov]

Кто бы сомневался Прикол, конечно, в том, что других значений у $d$ нет. Поначалу мне казалось, что это непросто доказать. Но я ошибся, доказательство вполне стандартное. Предлагаю его найти.

[rightways]

Делаем замену $a=bcd-x$ а потом сталкиваемся с такой задачей:
Если

$$kx^2+ky^2+z^2=2kxyz$$

то $k=2$.
Ее же решаем как решают Маркова что $x^2+y^2+z^2=kxyz$. Только тут мы сталкиваемся с мелкими случаями которые мешают, а именно случай $x=1$. Ее нужно будет отдельно решить , тоже по Виета.