Шестая рациональная точка на эллиптической кривой

[Volik]

Доброго дня всем! Вроде получил что ранг кривой $ y+y \cdot x^2-y \cdot k^2-y \cdot k^2 \cdot x^2-2 \cdot k \cdot x+2 \cdot k \cdot x \cdot y^2=0$, с рациональным коэффициентом $k \neq 0, k \neq \pm 1$, равен нулю. Вижу на ней пять рациональных точек нулевого порядка: $ [0,0], [1,k], [-1,1/k], [1,-1/k], [-1,1/k] $
Для многих частных случаев значения коэффициента k могу найти еще несколько.
В общем же случае, не могу ни одного найти.
Может кто покажет хотя бы один (шестой) для общего случая? А может есть условие их наличия в зависимости от k?
Насколько я понял, для ранга 0 их должно быть не много и я пытался их все отыскать.
Заранее благодарен за конструктив!

[nnosipov]

Volik в сообщении #1442463 писал(а):

Вроде получил что ранг кривой $ y+y \cdot x^2-y \cdot k^2-y \cdot k^2 \cdot x^2-2 \cdot k \cdot x+2 \cdot k \cdot x \cdot y^2=0$, с рациональным коэффициентом $k \neq 0, k \neq \pm 1$, равен нулю.

Возьмем $k=4/5$ и, стартуя с точки $(x,y)=(1/13,4/13)$, построим бесконечно много рациональных точек. Какой же нулевой ранг?

Volik в сообщении #1442463 писал(а):

рациональных точек нулевого порядка

А Вы хорошо знакомы с терминологией? Что такое порядок точки на эллиптической кривой?

[Volik]

Спасибо! Огорчен тем что не пойму, в чем я ошибаюсь? Может подскажете?
1)Точкой порядка 0 я считал точку, в которой касательная к кривой не дает новой точки пересечения.
2)Ранг я принял равным 0, рассматривая вспомогательную кривую: $ k^2 \cdot y \cdot z^2+k \cdot y^2 \cdot z^2+k^2 \cdot y-k \cdot y^2-k \cdot z^2-y \cdot z^2+k-y=0 $
Это гладкая кривая 4-го порядка, т.е., рода 3 ($g=\frac{ (4-1) \cdot (4-2)} {2}=3$);
По Морделлу-Фальтингсу число рациональных точек на ней конечно;
Все точки исходной и вспомогательной кривых связаны обратимым рациональным преобразованием $z= \frac{1-x}{1+x}, (x \neq -1); x= \frac{1-z}{1+z}, (z \neq -1)$
Следовательно, на исходной кривой тоже конечное число рациональных точек, т.е., она нулевого ранга.

Ваш пример показывает, что в чем то я ошибся. Но в чем именно?

[nnosipov]

Volik в сообщении #1442573 писал(а):

Точкой порядка 0 я считал точку, в которой касательная к кривой не дает новой точки пересечения.

Это на самом деле точка порядка $2$. Порядок $0$ в принципе невозможен. (Вам не помешало бы познакомиться с общим понятием порядка элемента в группе; после этого понятие порядка точки эллиптической кривой не должно вызвать затруднений.)

Volik в сообщении #1442573 писал(а):

Это гладкая кривая 4-го порядка, т.е., рода 3 ($g=\frac{ (4-1) \cdot (4-2)} {2}=3$);

Вот здесь ошибка: бирационально эквивалентные кривые имеют одинаковый род, поэтому вспомогательная кривая также эллиптическая, т.е. рода $1$. Да, кривые степени $4$ могут быть эллиптическими, простейший пример: $y^2=x^4+1$ (кстати, эта эллиптическая кривая имеет ранг $0$).

Вообще, доказательство того, что эллиптическая кривая имеет нулевой ранг, обычно не является простым. Тем более это верно для кривых, зависящих от параметра. Здесь уместны компьютерные эксперименты с конкретными значениями параметра, по результатам которых можно было бы высказать ту или иную гипотезу.

[Volik]

Еще раз спасибо!
С точками нулевого порядка я явно напутал.
А вот с родом моей вспомогательной кривой по прежнему не понятно! В чем ошибка вычисления ее рода по формуле $g= \frac{(4-1) \cdot (4-2)}{2}=3$
Ваша кривая $y^2=x^4+1$ так же имеет род 3 и, в соответствии с гипотезой Морделла (доказанной Фальтингсом) имеет конечное число рациональных точек
Что правильней, считать кривую четвертого порядка , имеющую конечное число рациональных точек эллиптической кривой ранга 0, или исключить из эллиптических кубические кривые с конечным числом рациональных точек?
Как согласовать Ваш пример точки бесконечного порядка для вспомогательной кривой с ее родом 3 и гипотезой Морделла?
Или наоборот, как иначе определить что ее род 1?
(Замучился, пошел готовить обед)

[nnosipov]

Volik в сообщении #1442589 писал(а):

В чем ошибка вычисления ее рода по формуле

Формула неправильная. Правильный вариант можно найти, например, в википедии. Но это не избавляет от чтения учебников. Просто понятие рода кривой не такое простое, как кажется. Могу порекомендовать Р. Уокер, Алгебраические кривые, М.: ИЛ, 1952. Кажется, были еще популярные статьи в журнале "Квант" на эту тему, но надо искать.

[Xaositect]

Для применимости формулы кривая должна быть гладкой во всей проективной плоскости. У Вас сингулярности спрятались на бесконечно удаленной прямой.

[Volik]

1) Спасибо, скачал, почитаю. Но формулу применяют давно и часто. Главное, правильно учесть особенности. Я забыл их минусовать, а в вашей кривой в нуле самопересечение и, следовательно род не 3, а 2!
2) Как найти эту "спрятанную на бесконечности" особенность выяснить ее тип?

[nnosipov]

Volik в сообщении #1442610 писал(а):

а в вашей кривой в нуле самопересечение и, следовательно род не 3, а 2!

Нет, род кривой $y^2=x^4+1$ равен $1$. Самый простой способ в этом убедиться --- это показать, что данная кривая бирационально эквивалентна эллиптической кривой $v^2=u^3-4u$.

-- Пн мар 02, 2020 23:22:49 --

Volik в сообщении #1442610 писал(а):

2) Как найти эту "спрятанную на бесконечности" особенность выяснить ее тип?

Взять учебник и начать изучать соответствующую теорию. Начать можно с понятия однородных координат и проективной плоскости.

Вообще, для вычислений можно воспользоваться уже готовыми пакетами в системах компьютерной алгебры. Например, в Maple есть пакет

algcurves

с помощью которого можно найти и род кривой, и ее особенности.

[Volik]

Спасибо, попытаюсь разобраться. Но тот же Уокер для меня сложноват.
Отдельно спасибо за algcurves, не знал о нем. Попробую.
Авось что и получится. Правда, не только голова, но и глаза подводят!

[scwec]

Точки, которые перечислил Volik в начальном сообщении (если заменить повтор - последнюю точку [-1,1/k] на [-1,-k]), исчерпывают список рациональных точек для "общего случая". Все пять точек имеют конечный порядок. Шестой точки нет и искать её не нужно.

[Volik]

Спасибо! Это обнадеживает, но как быть с точками бесконечного порядка для частого случая $k=2/5$?

[scwec]

Volik в сообщении #1442848 писал(а):

но как быть с точками бесконечного порядка для частого случая $k=2/5$?

На этой кривой нет рациональных точек бесконечного порядка

[Volik]

Спасибо! Как я понимаю, раз нет точек бесконечного порядка, то и общее число рациональных точек конечно? Может есть метод нахождения их всех? Или, хотя бы их количество в зависимости от конкретного значения k?

[scwec]

Для данного в теме семейства эллиптических кривых, кол-во рациональных точек на кривой равно или 5,
(когда ранг кривой равен нулю - например, для целых k=2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14....и в этом случае все точки конечного порядка)
или бесконечное число рациональных точек (когда ранг кривой не равен нулю - k=4,6,15,20,21,22....).
Для любой эллиптической кривой полная классификация рациональных точек конечного порядка дана Мазуром.
Из неё, в частности, следует, что количество таких точек не более 16 на кривой (включая $\infty$).
Алгоритм нахождения рациональных точек конечного порядка хорошо известен и описан во всех учебниках по эллиптическим кривым.
Для вычисления ранга и рациональных точек эллиптических кривых эффективно использовать пакеты программ Pari, Magma и другие средства, доступные для свободного использования. Для приведения уравнения эллиптической кривой к форме Вейерштрасса можно использовать пакет Maple.
В частности, исходное семейство кривых можно привести к виду $w^2=u^3-(k^4+6k^2+1)u^2+4(k^2+1)^2{k^2}u$.
А далее подключается рабочий аппарат Pari и появляются ответы на интересующие пользователя вопросы.