Шестая рациональная точка на эллиптической кривой

[dmd]

Pari тоже приводит к форме Вейерштрасса, но по-своему

? ellfromeqn(y+y*x^2-y*k^2-y*k^2*x^2-2*k*x+2*k*x*y^2)
%1 = [0, -k^4 + 6*k^2 - 1, 0, -4*k^6 + 8*k^4 - 4*k^2, 0]

[Volik]

Спасибо! Но, увы, моя надежда умерла. Если бы число рациональных точек ВСЕГДА было конечным, то был бы шанс построить все почти рациональные кубоиды (с одной иррациональной диагональю). А раз возможны и варианты точек бесконечного порядка, то надежды нет. Буду искать другие подходы.

[scwec]

(Оффтоп)

Указанная dmd Вейерштрассова форма из Pari, получается также из приведенной мной формы заменой $U=u-4k^2,W=w$.
Предпочтение Maple в общем случае состоит в том, что там вместе с Вейерштрассовой формой вычисляются формулы замены переменных, что важно для нахождения неочевидных рациональных точек на исходной кривой.

[Volik]

Мне Maple ближе, хоть я и не знал про ее пакет algcurves. Я тоже приводил исходное уравнение к форме Вейерштрасса, но подстановкой $ x=\frac{w}{(1+u \cdot f) \cdot u}, y=\frac{w}{(1+u \cdot f) }$
Получил $(1+u \cdot f) \cdot (u^2 \cdot f^2-u^3 \cdot f+u \cdot f-u^2-w^2)$, где второй сомножитель и есть искомая форма, то есть:
$w^2 = u \cdot (1+u \cdot f) \cdot (-u+f)$. Для краткости $f=\frac{2 \cdot k}{1-k^2}$ .
Не получив выгоды от этого преобразования, вернулся к исходному уравнению. Там проще формулируется основная задача:
Доказать, что при любых рациональных k и l по крайней мере одна из точек $(x=l, y=y_1), (x=\frac{1-l}{1+l}, y=y_2)$ кривой иррациональна .
Или и в форме Вейерштрасса можно ее разумно переформулировать? Попробую покрутить еще.