2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение14.02.2020, 22:39 


14/02/20
832
1) Эту задачу сам придумал, хотя, может быть, уже кто-то и раньше ее выдумал.

Допустим, нам дана группа квадратных матриц порядка m (то есть матрицы порядка m) относительно операции умножения матриц, содержащая n матриц.

Чему может быть равен определитель матрицы, являющейся суммой всех элементов группы?

2) Вот тут я точно не знаю ход решения и ответ на данный момент, пригодились бы мысли. Тоже сам придумал.

Предположим, нам дана такая квадратная матрица А, что trA^k=0 для любых натуральных к. Доказать, что матрица А нильпотентная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 11:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
По второй задаче. След матрицы $A^k$ равен сумме собственных значений в степени $k$. Значит, все они равны нулю . Значит, матрица нильпотентная (жорданова форма).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 12:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вторая задача — это теорема 4.6.2.1 в «Линейной алгебре» Прасолова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 20:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Интересно. Умножает на определитель оператор $A^{\wedge m} := A\wedge\ldots\wedge A$, где множителей во внешнем произведении $m$. Пусть операторы в группе обозначены $A_1,\ldots,A_n$, тогда определитель их суммы будет $$(A_1 + \ldots + A_n)^{\wedge m} = \sum_{i_1,\ldots,i_m = 1}^n A_{i_1}\wedge\ldots\wedge A_{i_m}.$$В эту сумму входит как сумма (операторов-)определителей каждого $A_i$, так и куча всяких страшненьких операторов вида $$c\sum_{\sigma\in S_m} A_{\sigma\,i_1}\wedge\ldots\wedge A_{\sigma\,i_m},$$для не всех равных $i_1,\ldots,i_n$; про такие операторы мне пока нечего сказать…

(NB: произвольное выражение $B_1\wedge\ldots\wedge B_k$ не является линейным оператором на $k$-й внешней степени пространства, на котором оперируют $B_i$. Нужна «симметризация» как выше.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
artempalkin в сообщении #1439832 писал(а):
Допустим, нам дана группа квадратных матриц порядка m (то есть матрицы порядка m) относительно операции умножения матриц, содержащая n матриц.

Чему может быть равен определитель матрицы, являющейся суммой всех элементов группы?
А зачем условие порядка $m$? Для любой нетривиальной конечной подгруппы эта сумма будет вырожденным оператором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 21:48 


14/02/20
832
Xaositect в сообщении #1439939 писал(а):
artempalkin в сообщении #1439832 писал(а):
Допустим, нам дана группа квадратных матриц порядка m (то есть матрицы порядка m) относительно операции умножения матриц, содержащая n матриц.

Чему может быть равен определитель матрицы, являющейся суммой всех элементов группы?
А зачем условие порядка $m$? Для любой нетривиальной конечной подгруппы эта сумма будет вырожденным оператором.


Ответ правильный, а доказать сможете?

По поводу того, зачем нужен порядок, ну... можно и без порядка.

-- 15.02.2020, 21:50 --

Padawan в сообщении #1439878 писал(а):
По второй задаче. След матрицы $A^k$ равен сумме собственных значений в степени $k$. Значит, все они равны нулю . Значит, матрица нильпотентная (жорданова форма).


Кстати, да. Я почему-то думал, что в жордановой форме на диагонали будет что-то более сложное, но ведь нет, просто все СЗ возведутся в степени. Тогда все доказано! Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 21:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
artempalkin в сообщении #1439945 писал(а):
Ответ правильный, а доказать сможете?
Обозначим матрицы, составляющие группу, $A_1,\ldots,A_n$, и пусть $S$ — их сумма.
Тогда $S A_k=S$ (потому что при фиксированном $k$ и всевозможных $i=1..n$ произведения вида $A_iA_k$ дадут все $n$ элементов группы).
Предположим, что $\det S\neq 0$, тогда $S$ обратима. Умножая равенство на $S^{-1}$ слева, получим $A_k=E$ для любого $k=1..n$, что может быть справедливо, лишь если группа состоит только из $E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 21:59 


14/02/20
832
arseniiv в сообщении #1439938 писал(а):
Интересно. Умножает на определитель оператор $A^{\wedge m} := A\wedge\ldots\wedge A$, где множителей во внешнем произведении $m$. Пусть операторы в группе обозначены $A_1,\ldots,A_n$, тогда определитель их суммы будет $$(A_1 + \ldots + A_n)^{\wedge m} = \sum_{i_1,\ldots,i_m = 1}^n A_{i_1}\wedge\ldots\wedge A_{i_m}.$$В эту сумму входит как сумма (операторов-)определителей каждого $A_i$, так и куча всяких страшненьких операторов вида $$c\sum_{\sigma\in S_m} A_{\sigma\,i_1}\wedge\ldots\wedge A_{\sigma\,i_m},$$для не всех равных $i_1,\ldots,i_n$; про такие операторы мне пока нечего сказать…

(NB: произвольное выражение $B_1\wedge\ldots\wedge B_k$ не является линейным оператором на $k$-й внешней степени пространства, на котором оперируют $B_i$. Нужна «симметризация» как выше.)


Честно говоря, я почти ничего не понял :) Скорее даже вовсе ничего. Я даже не совсем уверен, что означает вот этот знак \wedge в отношении операторов.

-- 15.02.2020, 22:01 --

svv в сообщении #1439948 писал(а):
artempalkin в сообщении #1439945 писал(а):
Ответ правильный, а доказать сможете?
Обозначим матрицы, составляющие группу, $A_1,\ldots,A_n$, и пусть $S$ — их сумма.
Тогда $S A_k=S$ (потому что при фиксированном $k$ и всевозможных $i=1..n$ произведения вида $A_iA_k$ дадут все $n$ элементов группы).
Предположим, что $\det S\neq 0$, тогда $S$ обратима. Умножая равенство на $S^{-1}$ слева, получим $A_k=E$ для любого $k=1..n$, что может быть справедливо, лишь если группа состоит только из $E$.


Идеально :) Все верно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
artempalkin в сообщении #1439945 писал(а):
Ответ правильный, а доказать сможете?
Пусть наша группа называется $G$, рассматриваемая сумма $s = \sum_{g \in G} g$ и $h \in G$. $sh = \left(\sum_{g \in G} g\right) h = \sum_{g \in G} gh = s$. То есть все элементы группы при умножении слева на сумму становятся равны сумме. Это возможно только для вырожденной матрицы.

-- Сб фев 15, 2020 20:02:50 --

svv опередил :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:09 


14/02/20
832
Xaositect в сообщении #1439951 писал(а):
artempalkin в сообщении #1439945 писал(а):
Ответ правильный, а доказать сможете?
Пусть наша группа называется $G$, рассматриваемая сумма $s = \sum_{g \in G} g$ и $h \in G$. $sh = \left(\sum_{g \in G} g\right) h = \sum_{g \in G} gh = s$. То есть все элементы группы при умножении слева на сумму становятся равны сумме. Это возможно только для вырожденной матрицы.
Все правильно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:12 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
artempalkin
После ответа Xaositect мне очевидно, что внешние степени прикатывать сюда не стоило, раз дело больше в обратимости, чем в значении определителя. :D А внешнее произведение $\wedge$ я не совсем правильно употребил, считайте его тензорным $\otimes$. Тензорным произведением $B_1\otimes\ldots\otimes B_k$, где $B_i$ действуют на $V$, можно действовать на тензорах из $V^{\otimes k}$, определив $$(B_1\otimes\ldots\otimes B_k)(v_1\otimes\ldots\otimes v_k) = B_1 v_1\otimes\ldots\otimes B_k v_k$$на разложимых тензорах (на остальных по линейности). Теперь если мы определим внешние степени $\wedge^k V$ через тензорные, мы сможем действовать некоторыми хорошего вида операторами на них. Чтобы такой хороший оператор получить, окажется достаточным симметризовать любой $B_1\otimes\ldots\otimes B_k$. (В частности $n$-я внешняя степень оператора $A$, связанная с его определителем, получается просто как $n$-я тензорная.)

svv в сообщении #1439948 писал(а):
Тогда $S A_k=S$ (потому что при фиксированном $k$ и всевозможных $i=1..n$ произведения вида $A_iA_k$ дадут все $n$ элементов группы).
Как просто и замечательно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:14 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Я воспользовался боевой телепатией и украл решение из головы Xaositect, надеюсь, он простит. А печатаю я быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:15 


14/02/20
832
arseniiv в сообщении #1439953 писал(а):
artempalkin
После ответа Xaositect мне очевидно, что внешние степени прикатывать сюда не стоило, раз дело больше в обратимости, чем в значении определителя. :D А внешнее произведение $\wedge$ я не совсем правильно употребил, считайте его тензорным $\otimes$. Тензорным произведением $B_1\otimes\ldots\otimes B_k$, где $B_i$ действуют на $V$, можно действовать на тензорах из $V^{\otimes k}$, определив $$(B_1\otimes\ldots\otimes B_k)(v_1\otimes\ldots\otimes v_k) = B_1 v_1\otimes\ldots\otimes B_k v_k$$на разложимых тензорах (на остальных по линейности). Теперь если мы определим внешние степени $\wedge^k V$ через тензорные, мы сможем действовать некоторыми хорошего вида операторами на них. Чтобы такой хороший оператор получить, окажется достаточным симметризовать любой $B_1\otimes\ldots\otimes B_k$. (В частности $n$-я внешняя степень оператора $A$, связанная с его определителем, получается просто как $n$-я тензорная.)

svv в сообщении #1439948 писал(а):
Тогда $S A_k=S$ (потому что при фиксированном $k$ и всевозможных $i=1..n$ произведения вида $A_iA_k$ дадут все $n$ элементов группы).
Как просто и замечательно!


Ну это крутовато для меня :) Я не плаваю так глубоко :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
artempalkin
Если захотите поплавать во внешних произведениях, можете глянуть например Sergei Winitzki. Linear algebra via exterior products. Ещё в Кострикине—Манине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача и вопрос (линал/алгебра)
Сообщение15.02.2020, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
arseniiv в сообщении #1439953 писал(а):
Как просто и замечательно!

Эта штука с суммой в теории представлений конечных групп встречается. Эта сумма определена в групповой алгебре и для любого представления задает проекцию на инвариантное подпространство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group