Ошибки в Зориче

[мат-ламер]

Параграф 10.7. Упражнение 2.

Проанализируйте ещё раз доказательство теоремы о неявной функции и дополнений к ней и покажите, что:
...
b) В условиях теоремы $X$ не обязано быть нормированным, а может быть любым топологическим пространством.

А вот интересно, существуют ли студенты 1-2-го курсов, которые решают такие упражнения? Решают ли их преподаватели?

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #1548167 писал(а):

А вот интересно, существуют ли студенты 1-2-го курсов, которые решают такие упражнения? Решают ли их преподаватели?

А что тут решать (тем более преподавателям)? Там несколько раз (перед и во время доказательства) делается акцент на неподвижной точке семейства отображений с параметром $x \in X$. В главе про сжимающие отображения необходимое наблюдение есть (устойчивость неподвижной точки для семейств равномерно сжимающих отображений). Обычная задачка на копание в формулах с целью запомнить формальную идею.

[мат-ламер]

demolishka
То, что в этой теореме используются топологические понятия, понятно. Но в этой теореме используются не только топологические понятия. Само понятие дифференциала (производной) использует понятие линейности. Так что пространство должно быть, по-видимому, не "любым топологическим", а по крайней мере топологическим векторным. Произвольное топологическое пространство уж очень произвольным может быть. Настолько произвольным, что ничего содержательного для анализа для него не докажешь. А если использовать анализ в топологических векторных пространствах, то это материал не для первых курсов.

-- Пн фев 07, 2022 18:48:02 --

demolishka в сообщении #1548202 писал(а):

Обычная задачка на копание в формулах

Для произвольного топологического пространства формулу не напишешь.

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #1548207 писал(а):

Так что пространство должно быть, по-видимому, не "любым топологическим", а по крайней мере топологическим векторным.

Нет. Проанализируйте доказательство. Производная берется по переменной $y$. Также можете посмотреть на соответствующую теорему в Л.Шварц "Анализ", том 1, стр. 294.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1548257 писал(а):

Нет. Проанализируйте доказательство. Производная берется по переменной $y$.

Я пока с условием справиться не могу. Рассмотрим пример. Поскольку $X$ - может быть любым топологическим пространством, предположим, что это пространство состоит из двух точек - нуля и единицы. Топологию в нём введём антидискретную - пусть открытыми множествами в нём будет пустое множество и само множество $X$ . В качестве множества $Y$ возьмём вещественную прямую, т.е. положим $Y=R$ . Теперь введём функцию $F(x,y)$ следующим образом. Положим $F(0,y)=y$ и $F(1,0)=0$ . Стал проверять условия теоремы и тут засада. В третьем пункте требуется существование и непрерывность производной $F'(x,y)$ в нуле по совокупности переменных. Как её определить в рассматриваемом примере, непонятно. Буду думать.

-- Вт фев 08, 2022 17:34:02 --

Хочу добавить, что третий пункт условия теоремы существенен для её доказательства. И если его отбросить, то элементарно строится контрпример к теореме.

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #1548301 писал(а):

производной $F'(x,y)$

производной по y.

[мат-ламер]

demolishka в сообщении #1548304 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1548301 писал(а):

производной $F'(x,y)$

производной по y.

Может вы и правы. Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ . Тогда я снимаю своё замечание и приношу извинения. Будем считать, что я не разобрался в обозначениях. Меня реально смутило, каким образом можно говорить про $F'(x,y)$ для произвольного топологического пространства $X$ .

Может и такое быть, что у Зорича в этом месте опечатка. Дифференцируемость $F$ по $x$ нужна, когда дополнительно доказывается дифференцируемость неявной функции. Но тут она не доказывается.

-- Вт фев 08, 2022 20:06:35 --

мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):

Может и такое быть, что у Зорича в этом месте опечатка.

Наверное так оно и есть.

мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):

Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ .

И в 3-м пункте условий тоже надо писать $F'_y(x,y)$ .

[demolishka]

мат-ламер в сообщении #1548314 писал(а):

Только Зорич употребляет обозначение $F'(x,y)$ без всяких пояснений (в 3-м пункте условий). В следующем пункте (4-м) он конкретно пишет про $F'_y(x,y)$ .

В издании 1984 года в обоих пунктах стоит $F'_{y}$.

[Padawan]

мат-ламер в сообщении #1547866 писал(а):

Открыл Зорича в случайном месте. Глава 10. Параграф 3. "Дифференциал отображения" . Задача 4.е. Надо доказать, что некая матрица не является экспонентой никакой другой матрицы.

Утверждение не верно:

$$ \begin{pmatrix} -1&0\\1&-1\end{pmatrix}=\exp \begin{pmatrix} i\pi&0\\-1&i\pi\end{pmatrix} $$

Возможно, имелось ввиду "никакой вещественной матрицы". Но как об этом догодаться, если в первых пунктах этой задачи рассматриваются экспоненты от операторов $ A\in\mathscr L(\mathbb C^n, \mathbb C^n) $?