Вычислить предел

[Ёж]

Верно ли, что
$\lim\limits_{n\to\infty}1^n=\lim\limits_{n\to\infty}1=1,$
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{+\infty}\right)=0,$ т.к. $\lim\limits_{n\to\infty}2^n=+\infty,$
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n }{2^n}=\left(\frac{\text{ограниченная функция}}{+\infty}\right)=0,$
$\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n =\lim\limits_{n\to\infty} \begin{cases} 1, &\text{если } n=2k,\\ -1, &\text{если } n=2k+1 \end{cases}$ - не существует,
$\lim\limits_{n\to\infty}(-2)^n=\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n 2^n=\infty$?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Ёж в сообщении #1439181 писал(а):

Верно ли

Верно. Но к третьему примеру я бы придрался: лучше написать $\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\text{ограниченная последовательность}}{\text{неограниченно возрастающая}}\right)=\ldots$. После того, как Вы убрали значок $\lim$, никакой последовательности или функции уже не осталось.
А в чём сомнения?

[Ёж]

Someone в сообщении #1439359 писал(а):

Ёж в сообщении #1439181 писал(а):

Верно ли

Верно. Но к третьему примеру я бы придрался: лучше написать $\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\text{ограниченная последовательность}}{\text{неограниченно возрастающая}}\right)=\ldots$. После того, как Вы убрали значок $\lim$, никакой последовательности или функции уже не осталось.
А в чём сомнения?

Спасибо!
В одной книге было написано, что предел $\lim\limits_{n\to\infty}(-2)^n$ не существует.

[angor6]

Ёж
Я предполагаю, что третий пример сводится к произведению ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность.

[arseniiv]

Ёж в сообщении #1439538 писал(а):

В одной книге было написано, что предел $\lim\limits_{n\to\infty}(-2)^n$ не существует.

Тут есть нюанс. Ровно так же как мы можем рассматривать предел не при $\mathbb R\ni x\to\pm\infty$, а предел при $x\to\infty$ («беззнаковой бесконечности»)*, так же мы можем вместо говорения о бесконечных пределах со знаком говорить о бесконечном пределе без знака. Когда существует первый, существует и второй (и это не страшно, потому что предел единственен только когда он существует конечный), но не наоборот, как ваш случай и показывает. Иногда ограничиваются определением пределов только при $x\to\pm\infty$. В любом случае что те, что те — не «настоящие» конечные пределы. Пока мы не говорим о компактификациях $\mathbb R$, бесконечные пределы — это особые случаи, для которых определение предела дополняется отдельно (определением «окрестностей бесконечности», не являющихся обычными окрестностями чисел), так что тут возможен такой небольшой разнобой, когда что-то не было доопределено. Всё станет чётким, если рассматривать конкретную компактификацию.

* Например $\lim\limits_{x\to\infty} \frac1x = 0$, но $\lim\limits_{x\to\infty} e^x$ не существует, хотя односторонние существуют.

[Ёж]

Спасибо большое всем!

arseniiv в сообщении #1439563 писал(а):

Ёж в сообщении #1439538 писал(а):

В одной книге было написано, что предел $\lim\limits_{n\to\infty}(-2)^n$ не существует.

Тут есть нюанс. Ровно так же как мы можем рассматривать предел не при $\mathbb R\ni x\to\pm\infty$, а предел при $x\to\infty$ («беззнаковой бесконечности»)*, так же мы можем вместо говорения о бесконечных пределах со знаком говорить о бесконечном пределе без знака. Когда существует первый, существует и второй (и это не страшно, потому что предел единственен только когда он существует конечный), но не наоборот, как ваш случай и показывает. Иногда ограничиваются определением пределов только при $x\to\pm\infty$. В любом случае что те, что те — не «настоящие» конечные пределы. Пока мы не говорим о компактификациях $\mathbb R$, бесконечные пределы — это особые случаи, для которых определение предела дополняется отдельно (определением «окрестностей бесконечности», не являющихся обычными окрестностями чисел), так что тут возможен такой небольшой разнобой, когда что-то не было доопределено. Всё станет чётким, если рассматривать конкретную компактификацию.

* Например $\lim\limits_{x\to\infty} \frac1x = 0$, но $\lim\limits_{x\to\infty} e^x$ не существует, хотя односторонние существуют.

Здесь имелось ввиду предел последовательности, т.е. $\lim\limits_{n\to+\infty}(-2)^n$.

Вот источник (предполагается, что $a>0$)

[Mikhail_K]

Ёж в сообщении #1439661 писал(а):

Вот источник

Когда говорят "предел существует / не существует", это может означать разные вещи. Автор той или иной книги может считать "настоящими" только конечные пределы, а скажем если предел равен плюс бесконечности, то говорить "предел не существует". Или считать $\pm\infty$ тоже "настоящими" пределами, а когда предел $\infty$ без конкретного знака, то говорить "предел не существует". Или же, считать беззнаковую бесконечность тоже "настоящим" пределом. Это зависит от автора книги. В любом случае, ошибки не будет, и если сказать "предел равен бесконечности", и если сказать "предела не существует" - и быть готовым при появлении вопросов уточнить, есть ли стремление к $+\infty$, $-\infty$, $\infty$. Разница тут чисто терминологическая, как что называть.

[arseniiv]

Кстати ой, я там понаписал не в ту сторону, хотя вроде проверял. Стал описывать базу $x\to\infty$ по аналогии с беззнаково-бесконечным пределом, а надо было наоборот.

Mikhail_K в сообщении #1439694 писал(а):

Разница тут чисто терминологическая, как что называть.

+++, хотя я это тоже уже написал, но это стоит подчеркнуть и в третий раз.

[Ёж]

Спасибо большое всем!

[Someone]

Ёж
Кстати, используя беззнаковую бесконечность $\infty$, полезно представлять себе, что числовая прямая свёрнута в окружность, и концы прямой "склеены" в точке $\infty$. Тогда окрестности точки $\infty$ выглядят как обычные интервалы. Например, $\varepsilon$-окрестность — это тот интервал с концами в точках $-\frac 1{\varepsilon}$ и $\frac 1{\varepsilon}$ на окружности, который содержит $\infty$.

[Nurgali]

Someone в сообщении #1439790 писал(а):

Ёж
Кстати, используя беззнаковую бесконечность $\infty$, полезно представлять себе, что числовая прямая свёрнута в окружность, и концы прямой "склеены" в точке $\infty$. Тогда окрестности точки $\infty$ выглядят как обычные интервалы. Например, $\varepsilon$-окрестность — это тот интервал с концами в точках $-\frac 1{\varepsilon}$ и $\frac 1{\varepsilon}$ на окружности, который содержит $\infty$.

Спасибо!

[Connector]

Мне тоже понравилось, очень наглядно.

[arseniiv]

Ага, такая штука известна под несколькими именами: одноточечная компактификация $\mathbb R$ — это означает компактное топологическое пространство, которое можно получить добавлением всего одной точки ($\infty$) к $\mathbb R$ (оно оказывается единственным); или проективная вещественная прямая $\mathbb R\mathrm P$ — это обычная проективная прямая из геометрии, хотя на ней будет ещё и дополнительная структура (двойное отношение и проективные преобразования).

Есть ещё двухточечная компактификация, «расширенная вещественная прямая», дающая «отрезок» $[-\infty; +\infty] \equiv\overline{\mathbb R}$, окрестности $\pm\infty$ тут тоже напоминают обычные окрестности концов обычного конечного отрезка из $\mathbb R$.

Splitting hairs further, для $\mathbb R\mathrm P$ обозначение устоявшееся (для более общего случая это $\mathbb R\mathrm P^n$), а вот для одноточечной компактификации — если нам явно надо указать, что никакой проективной структуры мы не хотим использовать — только если писать $\mathbb R\cup\{\infty\}$, ничего лучшего общеупотребимого не припоминается.