Вычислить предел

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1439933 писал(а):

одноточечная компактификация $\mathbb R$ — это означает компактное топологическое пространство, которое можно получить добавлением всего одной точки ($\infty$) к $\mathbb R$ (оно оказывается единственным)

arseniiv в сообщении #1439933 писал(а):

для $\mathbb R\mathrm P$ обозначение устоявшееся (для более общего случая это $\mathbb R\mathrm P^n$), а вот для одноточечной компактификации — если нам явно надо указать, что никакой проективной структуры мы не хотим использовать — только если писать $\mathbb R\cup\{\infty\}$, ничего лучшего общеупотребимого не припоминается

$S^1$ (и $S^n$ для более общего случая)?

[arseniiv]

Проективная плоскость $\mathbb R\mathrm P^2$ уже не гомеоморфна $S^2$ (но она гомеоморфна сфере, в которую вместо круга вклеили лист Мёбиуса), да и с одномерным случаем не удобно заменять проективную прямую окружностью, потому что у окружности нет выделенных точек типа $0, 1,\infty$, а для матанализа важны конкретные числа.

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1439942 писал(а):

Проективная плоскость $\mathbb R\mathrm P^2$ уже не гомеоморфна $S^2$

Да, но она и не одноточечная компактификация. Одноточечная компактификация $\mathbb{R}^2$ - это $S^2$.

arseniiv в сообщении #1439942 писал(а):

да и с одномерным случаем не удобно заменять проективную прямую окружностью, потому что у окружности нет выделенных точек типа $0, 1,\infty$, а для матанализа важны конкретные числа.

А у проективной прямой $\mathbb{R}P$ есть выделенные точки? Наверное, это зависит от того, как её определять. Если определять как пространство прямых на плоскости, проходящих через начало координат, с угловой метрикой или с фактортопологией, то тоже нету ничего выделенного. Выделить конечно можно, особенно если на этой плоскости есть система координат - сказать, что, типа, горизонтальная прямая это $\infty$. Но и на окружности $S^1$ тоже можно естественно выделить точку, если брать в качестве этой $S^1$ не просто окружность, а единичную окружность на координатной плоскости.

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1439989 писал(а):

Да, но она и не одноточечная компактификация. Одноточечная компактификация $\mathbb{R}^2$ - это $S^2$.

А, это конечно так. Это я съехал с исходной темы немного.

Mikhail_K в сообщении #1439989 писал(а):

А у проективной прямой $\mathbb{R}P$ есть выделенные точки? Наверное, это зависит от того, как её определять. Если определять как пространство прямых на плоскости, проходящих через начало координат, с угловой метрикой или с фактортопологией, то тоже нету ничего выделенного. Выделить конечно можно, особенно если на этой плоскости есть система координат - сказать, что, типа, горизонтальная прямая это $\infty$. Но и на окружности $S^1$ тоже можно естественно выделить точку, если брать в качестве этой $S^1$ не просто окружность, а единичную окружность на координатной плоскости.

Да, всё так, но как я понимаю $S^1$ в первую очередь обозначает любое гомеоморфное окружности топологическое пространство, а $F\mathrm P^n$ — конкретно проективизацию координатного пространства $F^{n+1}$, в случае чего мы имеем естественную аффинную карту (ту систему координат, определяющую, какие точки считать бесконечно удалёнными). То есть $\mathbb R\mathrm P$ — это конечно не любая вещественная проективная прямая, а «каноническая», на которой сразу задана и аффинная карта. Раз мы говорили здесь про $\mathbb R$, это как раз то что нужно, а вот в общем случае я бы сказал, что неудобно, что нет обозначения для произвольной проективной прямой над $F$ (вон для тех же сфер-то есть) и придётся — если гнаться за точностью — писать «$\mathrm P(V)$ для двумерного линейного пространства $V$ над $F$» (где $\mathrm P$ обозначает проективизацию). Потому я понимаю, когда в таком случае пишут $F\mathrm P$, что однако не верх аккуратности. Точно так же пишут $F^n$ для обозначения $n$-мерного линейного или аффинного пространства, когда канонические базис/система координат настоящего $F^n$ совершенно не нужны. Вроде ещё писали $V^n$, но это неудобно хотя бы неуказанием поля скаляров, которое не всегда закреплено.

[Ёж]

arseniiv в сообщении #1439933 писал(а):

Ага, такая штука известна под несколькими именами: одноточечная компактификация $\mathbb R$ — это означает компактное топологическое пространство, которое можно получить добавлением всего одной точки ($\infty$) к $\mathbb R$ (оно оказывается единственным); или проективная вещественная прямая $\mathbb R\mathrm P$ — это обычная проективная прямая из геометрии, хотя на ней будет ещё и дополнительная структура (двойное отношение и проективные преобразования).

Есть ещё двухточечная компактификация, «расширенная вещественная прямая», дающая «отрезок» $[-\infty; +\infty] \equiv\overline{\mathbb R}$, окрестности $\pm\infty$ тут тоже напоминают обычные окрестности концов обычного конечного отрезка из $\mathbb R$.

Splitting hairs further, для $\mathbb R\mathrm P$ обозначение устоявшееся (для более общего случая это $\mathbb R\mathrm P^n$), а вот для одноточечной компактификации — если нам явно надо указать, что никакой проективной структуры мы не хотим использовать — только если писать $\mathbb R\cup\{\infty\}$, ничего лучшего общеупотребимого не припоминается.

Если правильно понял, то $\overline{\mathbb R}\equiv[-\infty; +\infty] \equiv\mathbb R\cup\{-\infty\} \cup\{+\infty\}$. Можно ли обозначать $\overline{\mathbb R}\equiv\mathbb R\cup\{\infty\}$?

[Someone]

Ёж в сообщении #1440135 писал(а):

Если правильно понял, то $\overline{\mathbb R}\equiv[-\infty; +\infty] \equiv\mathbb R\cup\{-\infty\} \cup\{+\infty\}$. Можно ли обозначать $\overline{\mathbb R}\equiv\mathbb R\cup\{\infty\}$?

И то, и другое Вы можете обозначать как угодно, только объясните своим слушателям или читателям свои обозначения. Но если Вы хотите использовать оба варианта, то обозначения для них должны быть разными.

[Ёж]

Someone в сообщении #1440163 писал(а):

Ёж в сообщении #1440135 писал(а):

Если правильно понял, то $\overline{\mathbb R}\equiv[-\infty; +\infty] \equiv\mathbb R\cup\{-\infty\} \cup\{+\infty\}$. Можно ли обозначать $\overline{\mathbb R}\equiv\mathbb R\cup\{\infty\}$?

И то, и другое Вы можете обозначать как угодно, только объясните своим слушателям или читателям свои обозначения. Но если Вы хотите использовать оба варианта, то обозначения для них должны быть разными.

Спасибо!