10pqr не делит p^5+q^5+r^5

[rightways]

Задача:

$p,q,r$ простые числа. Докажите, что $10pqr$ не делит число $p^5+q^5+r^5$.


Задача для меня очень интересна. Но не могу решить. Вроде компьютер не нашел решении. Сам покачто дошел до topic119710.html , а дальше нет идей. Вычетами Гаусса можно установить что $8|pq-7$.

[maxal]

Опять же, скорее всего, утверждение задачи неверно.

С необходимостью имеем, что одно из простых равно 2, пусть $r=2$. Тогда простые $p,q$ должны удовлетворять $pq\mid (p^5+q^5+32)$, $p+q\equiv 0\pmod4$, $p+q\equiv 3\pmod5$.
При этом такие пары, удовлетворяющие одному любому из двух сравнений, легко находятся, то есть ни один из модулей препятствия для существования решений не представляет. Скорее всего, их комбинация таковым также не является, хотя маленьких решений здесь нет.

[rightways]

$p$ и $q$ зависимы. Пусть $p>q$. Тогда можно считать что $5|p-1$ и $5|q-2$ иначе $p|q+2$. А из этого будет точно следовать что $q|p+2$.

[rightways]

Я кажется решил, но не уверен. Учитывая что для достаточно больших $p,q,r$ решении покачто нет.
Пусть $q>p>r$ . Тогда $r=2$ . Нетрудно доказать что $p|q+2$. Тогда $q|p^5+32$ откуда $q|p^4-2p^3+4p^2-8p+16$.
Пусть $q=pk-2$ , тогда

$$p^4-2p^3+4p^2-8p+16=(pk-2)(pn+8)$$

...(1)
Откуда следует что $p|n+4k-4$. Пусть $pa=n+4k-4$ Подставив $n=pa-4k+4$ в (1) получим

$$p^2+4k^2+2a+4=apk+4k+2p$$

Последнее уравнение можно свести к Пелля или по спуску можно ограничить $a$, что решает нашу задачу. По крайней мере по спуску Виета при $p\ge k$ я получил что $a\le 7$ . Но при $k>p$ возникли трудности.
Как дальше решать?