случайные процессы

[Optimizer of control]

Добрый вечер.
Пожалуйста помогите решить задачу.

Пусть дана неограниченно возрастающая последовательность положительных случайных величин $\tau _n, n = 1,2, ...$. Известно, что случайный процесс

$$ X_t = \sum_{n = 1}^\infty I[\tau_n \le t], t \in [0, \infty), $$

является однородным и имеет независимые приращения. Доказать, что $EX_t < \infty$
для любого $t \in [0, \infty)$.

[Optimizer of control]

Здравствуйте.
Пожалуйста помогите разобраться с задачкой:

Пусть дан процесс броуновского движения $\{ B_t, t \in [0, \infty) \}$. Обозначим $\mathcal F_t$ сигма-алгебру, порожденную случайными величинами $B_s, 0 \le s \le t$. Доказать, что случайный процесс $\{ B_{\tau + t} - B_{\tau}, t \in [0, \infty) \}$ является процессом броуновского движения для любого конечного марковского момента $\tau$ относительно фильтрации $\{ \mathcal F_t, t \in [0, \infty) \}$.

[Alexey1]

Возьмите математическое ожидание от двух сторон. Так как сумма положительных чисел, то операторы суммы и математического ожидания коммутативны. Затем используйте условие, что случайные величины неограниченно возрастают.

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

Добрый вечер.
Пожалуйста помогите решить задачу.

Пусть дана неограниченно возрастающая последовательность положительных случайных величин

Что значит неограниченно возрастает? Почти наверное или равномерно? Если равномерно, то ряд превратится в конечную сумму, и все тривиально. Если п.н., то утверждение неверно. Пример: пусть

$$ \Omega=[0,1] $$

с мерой Лебега и борелевской $\sigma$-алгеброй событий. Рассмотрим поточечно (кроме $\omega=0$) неограниченную последовательность случайных величин

$$ \tau_n(\omega)=\omega n $$

Тогда

$$ X_t(\omega)=\sum\limits_{n=1}^\infty I_{\{\tau_n\leqslant t\}}(\omega)=\left[\frac{t}{\omega}\right] $$

не имеет конечного матем. ожидания при $t>0$.

Добавлено спустя 7 минут 9 секунд:

Только что увидел, что процесс однородный с независимыми приращениями..

[Henrylee]

Эта "задачка" (вторая) называется "строго марковское свойство винеровского порцесса". Доказательство не в две строчки. Его можете найти в книге Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов.

[Optimizer of control]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста идею решения следующей задачи.

Пусть дан пуассоновский процесс $\{ \Pi_t, t \in [0, \infty) \}$ с параметром $\lambda$. Доказать, что с вероятностью единица выполняется равенство

$$ \lim_{t\to\infty}\frac{\sup_{0\le s \le t}X_s}{t} = \lambda. $$

[Optimizer of control]

Спасибо

[Optimizer of control]

Здравствуйте.
Пожалуйста помогите решить задачу.

Пусть дан процесс броуновского движения$\{ B_t, t \in [0,\infty) \}$. Обозначим $t_{n,k} = k2^{-n}, k = 0, ..., 2^n$.
Вычислить

$$ \lim_{n\to\infty}E\sum_{k=0}^{2^n - 1}|B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}|^2 $$

.

[Henrylee]

А как Вы думаете, чему равно

$$ E|B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}|^2 $$

?
PS Вы бы топики называли по-разному, а то я уже лично в них запутался

[Jnrty]

Jnrty:

Optimizer of control, не надо заводить кучу однотипных тем. Все четыре темы с вопросами о случайных процессах объединяю.

[Henrylee]

О задаче 1
Можно показать, что в рамках условий задачи случайный процесс $X_t$ является однородной марковской цепью с переходной вероятностью

$$ p_{i,j}(s,t)=P\left\{\tau_{j-i}\leqslant t-s,~\tau_{j-i+1}>t-s\right\} $$

Таким образом искомое матем.ожидание равно

$$ EX_t=\sum\limits_{m=1}^\infty m\,p_{0m}(0,t)=\sum\limits_{m=1}^\infty m\, P\left\{\tau_m\leqslant t,~\tau_{m+1}>t\right\} $$

осталось понять, упростилась ли от этого задача.

[Optimizer of control]

Относительно задачи 4:
$B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}$ имеет нормальное распределение с параметрами $ 0, 2^{-n}$. В силу формулы $E(X^2) = DX + (EX)^2$ получаем $E(|B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}|^2) = 2^{-n}$.

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

Относительно задачи 4:
$B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}$ имеет нормальное распределение с параметрами $ 0, 2^{-n}$. В силу формулы $E(X^2) = DX + (EX)^2$ получаем $E(|B_{t_{n,k+1}} - B_{t_{n,k}}|^2) = 2^{-n}$.

Совершенно верно. Дальше, полагаю, все ясно.

[Optimizer of control]

Пожалуйста подскажите как подойти к решению задачи 3. В этой задаче известна $P(X_t = k)$ как и для любого Пуассоновского процесса, но как получить требуемое равенство непонятно. Нельзя же предел и супремум просто вынести за знак вероятности.

[Henrylee]

О задаче 3
Тут можно воспроизвести следующие "пляски с бубном".
Введем процесс

$$ Y_t:=X_t-t\lambda $$

Как нетрудно заметить, этот процесс является мартингалом: для $s<t$

$$ E(Y_t|{\cal F}_s)=E(X_t-t\lambda|{\cal F}_s)=E(X_t-X_s|{\cal F}_s)+E(X_s|{\cal F}_s)-t\lambda=(t-s)\lambda+X_s-t\lambda=X_s-s\lambda=Y_s $$

Применяя известное неравенство для мартингалов, получим (для натуральных $n$)

$$ P\left\{\sup\limits_{0\leqslant s\leqslant n}|X_s-s\lambda|\geqslant n\varepsilon\right\}\leqslant\frac{E\left|X_n-n\lambda\right|^3}{n^3\varepsilon^3}= \frac{n\lambda}{n^3\varepsilon^3}=\frac{\lambda}{n^2\varepsilon^3} $$

Ввиду того, что

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty P\left\{\sup\limits_{0\leqslant s\leqslant n}|X_s-s\lambda|\geqslant n\varepsilon\right\}<\infty, $$

$$ \sup\limits_{0\leqslant s\leqslant n}\frac{X_s-s\lambda}n\to 0 $$

почти наверное.
Зафиксируем $\omega$ из множества сходимости. Тогда для всех $s\in[0,n]$, заранее заданного $\delta>0$

$$ -n\delta<X_s-s\lambda<n\delta $$

для всех $n$, начиная с некоторого.

$$ s\lambda-n\delta<X_s<s\lambda+n\delta $$

$$ |\sup\limits_{0\leqslant s\leqslant n}X_s-n\lambda|\leqslant n\delta $$

то есть

$$ \frac{\sup\limits_{0\leqslant s\leqslant n}X_s}n\to\lambda. $$

Остается перейти от натуральных $n$ к действительным $t$.
PS Неравенство для мартингалов есть, например, у Ширяева, но для последовательности (когда $s$ тоже натур.). Нужно еще привести к действительным.