Исследовать на сходимость ряды...

[Banks]

Здраствуйте, помогите пожалуйста исследовать на сходимость ряды: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac {2^n+cos(n)}{3^n+sin(n)}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$ . Над первым думал, думаю что надо подобрать эталонный геометрический ряд(общий член которого вида: q^n), т.к. мы можем исследовать его на сходимость...И после этого можно найти предел отношения общего члена моего ряда и общего члена эталонного геометрического ряда, если этот предел будет равен числу, то ряды будут сходиться или расходиться одновременно...Но я не знаю как подобрать лучше q...А со вторым рядом вобще не знаю че делать...

[LynxGAV]

Banks писал(а):

А со вторым рядом вобще не знаю че делать...

А какие критерии сходимости рядов вам известны?

[Jnrty]

Jnrty:

Banks, на нашем форуме правила предписывают использовать \TeX для записи формул. Будьте любезны исправить, пока тема не отправилась в Карантин. Инструкция по записи формул здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183.

Например, второй Ваш ряд записывается так:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$ или $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$$

Получается $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$ или

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$$

.

[Brukvalub]

Jnrty писал(а):

Например, второй Ваш ряд записывается так:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$ или

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac n{10n+5}\right)^{n^2}$$

.

И для него хорошо подойдет радикальный признак Коши

[Banks]

LynxGAV писал(а):

Banks писал(а):

А со вторым рядом вобще не знаю че делать...

А какие критерии сходимости рядов вам известны?

Ну мне много каких признаков сходимости известны: предельный признак сравнения, признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.

[LynxGAV]

Brukvalub писал(а):

И для него хорошо подойдет радикальный признак Коши !

[bot]

Дык и просто с геометрической прогрессией сравнить. С первым ровно то же. Соббсно из сравнения с геометрической прогрессией и вытекает радикальный признак Коши.

[Banks]

Вобщем решая второй ряд по радикальному признаку Коши у меня получается следующее:$lim \left(\frac 1{10}\right)^{n}$Как это можно дорешать???А че с первым то все таки рядом делать???

[antbez]

Это к 0 будет стремиться!

Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды:

1-ый ряд сравните, например, с таким:
$\sum \frac{2^n+1}{3^n+1}$

[Henrylee]

antbez писал(а):

1-ый ряд сравните, например, с таким:
$\sum \frac{2^n+1}{3^n+1}$

Лучше с таким:
$\sum \frac{2^n+1}{3^n-1}$

[antbez]

Всё равно- практически сразу видна сходимость, так как 2/3 меньше 1

[Henrylee]

Кто бы сомневался. Но раз уж про формальное сравнение заговорили..

[LynxGAV]

Banks писал(а):

Вобщем решая второй ряд по радикальному признаку Коши у меня получается следующее:$lim \left(\frac 1{10}\right)^{n}$Как это можно дорешать???

А что есть много вариантов, к чему данный предел стремится?!?

[Профессор Снэйп]

LynxGAV писал(а):

А что есть много вариантов, к чему данный предел стремится?!?

Извиняюсь за занудство, но...

Последовательность стремится к нулю, а предел равен нулю. Предел может куда-то стремиться только в том случае, если он сам является последовательностью

[LynxGAV]

Профессор Снэйп писал(а):

LynxGAV писал(а):

А что есть много вариантов, к чему данный предел стремится?!?

Извиняюсь за занудство, но...

Последовательность стремится к нулю, а предел равен нулю. Предел может куда-то стремиться только в том случае, если он сам является последовательностью

Нечего извиняться. Конечно, предел равен ..