Сингулярное разложение матрицы оператора

[pandemodeus]

Добрый день.
Нужна помощь с доказательством существования сингулярного разложения. Саму идею я вроде уловил, но строго доказать не могу.
Собственно, постановка задачи такова:
Пусть $A$ - матрица размера $m$x$n$ ранга $r$. Доказать, что матрицу $A$ можно представить в виде $A=U\Lambda V$, где $U, V$ - унитарные(ортогональные) матрицы соответственно порядков $m$ и $n$, \Lambda - матрица размера $m$x$n$, такая что \lambda_{11} \geqslant \lambda_{22} \geqslant...\geqslant\lambda_{rr}>0, а все остальные элементы равны 0.
Исходя из полярного разложения, известно, что всякий оператор(суть матрица) может быть представлен в виде произведения $A=BU$, где $B \geqslant 0$, а $U$-унитарный.
Кроме того, известно выражение $AA^*=B^2$ . Из того, что оператор $AA^*$ самосопряжен, а значит и нормален, следует, что существует ортонормированный базис из его собственных векторов. Пусть они отвечают собственным значениям \rho_{k}^{2} \geqslant$0, k=\overline{1,n}. Применяя спектральное разложение для оператора $AA^*$, имеем $AA^*=G \Lambda^2 G^{-1}$. Следовательно, $B=G \Lambda G^{-1}$, где $G$-матрица размера $m$x$m$, столбцами которой являются собственные векторы оператора $AA^*=B^2$, и так как эти векторы образуют ортонормированный базис пространства, эта матрица унитарна(ортогональна). Я не могу построить подходящий оператор
$V$ нужной размерности справа.
Подскажите, где я ошибаюсь. Или может быть доказательство через полярное разложение не самое удачное? В таком случае, как еще можно доказать?

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1436437 писал(а):

Или может быть доказательство через полярное разложение не самое удачное? В таком случае, как еще можно доказать?

Пожалуй, да, не самое удачное, лучше доказывать напрямую, через сингулярные базисы (первый и второй). Основное средство --- теорема о том, что самосопряженный оператор приводится к диагональному виду в ортонормированном базисе.

Если нужно полярное разложение, то его можно получить из сингулярного.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - в частности, формулы должны быть окружены долларами и не содержать их в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.