2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Шарнир Гука
Сообщение04.01.2020, 19:43 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Что это такое написано тут https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0
Изображение

И так имеются два вала с вилками. Моменты инерции валов относительно их осей равны соответственно $J_1,J_2$. Угол между осями валов остается постоянным и равным $\alpha$. Массу зеленой крестовины считать равной нулю. На систему наложены идеальные связи, которые позволяют ей вращаться относительно инерциальной системы координат наблюдателя так, как показано на рисунке. К валам приложены известные моменты активных сил. Эти моменты направлены вдоль осей валов и равны соответственно $M_1,M_2$.

Написать уравнения движения системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 10:38 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Указание:
Обозначим через $\varphi_1,\varphi_2$ углы поворота валов.
1) Найти уравнение связи $f(\varphi_1,\varphi_2)=0.$
2) написать уравнения Лагранжа со множителями
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot\varphi_i}-\frac{\partial T}{\partial\varphi_i}=M_i+\lambda\frac{\partial f}{\partial\varphi_i}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:12 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Я в каком-то учебнике по термеху видел эту задачу. Кильчвеский "Курс ТМ" вроде. Или там угол между осями валов не был постоянным... Потому что были обычные уравнения Лагранжа, без множителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Padawan в сообщении #1434558 писал(а):
Потому что были обычные уравнения Лагранжа, без множителей.
IMHO, можно и без множителей - связь то голономная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:39 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Связь голономная, но это не значит, что можно ввести обобщенную координату глобально (во всяком случае я это делать не умею). В таких случаях тоже используют уравнения Лагранжа со множителями что бы получить глобально определенную систему ОДУ

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:42 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
pogulyat_vyshel в сообщении #1434560 писал(а):
но это не значит, что можно ввести обобщенную координату глобально

А разве $\varphi_1$ не будет такой координатой? $\varphi_2$ через неё выражается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:51 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
А Вы уравнение связи напишите, и посмотрите, что там получается

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 15:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
Ну, получится неявная функция. Но она есть. И дифференцировать её -- дело техники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 16:10 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Padawan в сообщении #1434566 писал(а):
Ну, получится неявная функция. Но она есть. И дифференцировать её -- дело техники.


Ну вот когда Вы эту технику продемонстрируете, тогда появится, что обсуждать, а пустые разговоры вести мы все умеем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 18:57 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
У меня получилось следующее уравнение связи:
$$\cos\alpha\sin\varphi_2\cos\varphi_1+\sin\varphi_1\cos\varphi_2=0.$$
Я как-то над этим уравнением не задумывался, и был уверен, что глобально оно не разрешимо. Но если немного подумать, то оказывается, что именно глобально (при всех $\varphi_2\in\mathbb{R}$) оно определяет гладкую функцию $\varphi_1=u(\varphi_2),$ которую даже не так трудно выписать. Там, какая-то тривиальная неединственность есть, но это неважно. Поэтому, действительно, удобнее пользоваться уравнением Лагранжа на обобщенную координату $\varphi_2$ (без множителей.)
А имели ли в виду amon и Padawan именно это -- непонятно. В качестве аргумента предлагалась голономность, но голономность как таковая существования глобальных координат совсем не гарантирует, как и теорема о неявной функции, впрочем.
Вопрос о вычислении обобщенной силы, отвечающей моментам $M_1,M_2$ остался на повестке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1434564 писал(а):
А Вы уравнение связи напишите, и посмотрите, что там получается
$$\tg\varphi_1=\tg\varphi_2\cos\alpha$$

-- 11.01.2020, 19:30 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1434591 писал(а):
Вопрос о вычислении обобщенной силы, отвечающей моментам $M_1,M_2$ остался на повестке.

$$\mathcal{L}=\left.\frac{J_1\dot{\varphi_1}}{2}+\frac{J_2\dot{\varphi_2}}{2}+\int M_1(\varphi_1)d\varphi_1+\int M_2(\varphi_2)d\varphi_2\right\lvert_{\varphi_2=\arctg(\frac{\tg\varphi_1}{\cos\alpha})}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 19:44 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Во-перых, раз уж Вы предположили, что моменты зависят от углов (я как-то подразумевал, что они вообще константы), то идите до конца: $M_i=M_i(t,\varphi_1,\varphi_2)$.
Во-вторых, из Вашей подстановки через арктангенс следует, что $\varphi_2\in (-\pi/2,\pi/2)$ что странно. Вы действуете локально, а надо глобально. Ровно то, о чем я и писал.

-- 11.01.2020, 21:05 --

$$\varphi_1=u(\varphi_2)=-\cos\alpha\int_0^{\varphi_2}\frac{ds}{\cos^2s+\cos^2\alpha\sin^2s}$$
:lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1434598 писал(а):
то идите до конца: $M_i=M_i(t,\varphi_1,\varphi_2)$ и ни какого потенциала там уже не будет.
Зачем ходить туда, где нет ни фига? Со своей стороны не удержусь спросить, как Вы представляете себе карданный шарнир, в котором внешний момент, приложенный к одной половинке, зависит от угла поворота другой? Если ограничится постоянным моментом, то уравнение выглядит как-то так (подозреваю, что дожмете до конца, но пока лень раскрывать всякие производные)
$$\frac{d}{dt}\dot{\varphi}_1\left(J_1+J_2\frac{d\varphi_2}{d\varphi_1}\right)-M_1-M_2\frac{d\varphi_2}{d\varphi_1}=0,$$где$$\frac{d\varphi_2}{d\varphi_1}=\frac{\cos\alpha}{\cos^2\varphi_1\cos^2\alpha+\sin^2\varphi_1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение11.01.2020, 20:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
amon в сообщении #1434602 писал(а):
как Вы представляете себе карданный шарнир, в котором внешний момент, приложенный к одной половинке, зависит от угла поворота другой?

Необязательно внешний. В уравнениях Лагранжа стоят активные силы, они на внешние и внутренние не делятся. Резинку, например, одним концом к одному валу прицепили, другим к другому и тянут еще в сторону с заданной силой.
amon в сообщении #1434602 писал(а):
что дожмете до конца,

дожимать зачем? Вот для меня тут была неожиданность про глобальную разрешимость уравнения, а остальное -- рутина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шарнир Гука
Сообщение12.01.2020, 00:16 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
pogulyat_vyshel в сообщении #1434591 писал(а):
оно определяет гладкую функцию $\varphi_1=u(\varphi_2)$

Глядя на рисунок, который Вы привели, достаточно очевидно, что $\varphi_2$ есть гладкая монотонно возрастающая функция от $\varphi_1$.
pogulyat_vyshel в сообщении #1434591 писал(а):
Поэтому, действительно, удобнее пользоваться уравнением Лагранжа на обобщенную координату $\varphi_2$ (без множителей.)
А имели ли в виду amon и Padawan именно это -- непонятно

Да, я это имел ввиду. Но Вы как всегда были чересчур агрессивны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group