Это нормально, давать округленную формулу(!) без объяснений?

[LinaQwerty]

Решала задачи по механике в пятитомнике Мякишева и наткнулась на эту:



Решила и получила такой ответ:

$T = 2\pi(R+H)^3/R \sqrt g$

Но ответ не сошелся:



Я часа 2 потратила, перерешивая, чтобы понять, где могла ошибиться. Мне это надоело, в гугле нашла решение:



Вот скажите, это разве нормально, вот так обращаться с формулой и при этом нигде не указывая, что её можно/нужно округлить?

Или факт того, что радиус много больше высоты по условию, позволяет так легко округлить $R^3 + 3RH^2$ до нуля?

$H$, все-таки не бесконечно малое же, чтобы можно было так лекго к нулю свести (а уж про $R^3$ вообще молчу).

Или это я такая тупая, что не догадалась какие-то там жалкие кубы да квадраты чисел выкинуть...

[Xaositect]

$R_0 >> H$ это и есть такое указание. Оно значит, что $H/R_0$ - малая величина, ее квадратами и более высокими степенями можно пренебречь.

[Sender]

LinaQwerty, ваш ответ не подходит по размерности, кстати.

[svv]

LinaQwerty в сообщении #1432211 писал(а):

Или факт того, что радиус много больше высоты по условию, позволяет так легко округлить $R^3 + 3RH^2$ до нуля?

Да, этот факт. Только давайте уточним, какие слагаемые отбрасываются.
$(R+H)^3=R^3+3R^2H+3RH^2+H^3$
При $R\gg H$ имеем $R^3\gg 3R^2H\gg 3RH^2\gg H^3$. Исходя из этого, $R^3$ и $3R^2H$ сохраняются, а $3RH^2$ и $H^3$ отбрасываются, то есть используется самое грубое приближение, которое не даёт константу (константа — это уже слишком грубо в задаче, где надо найти зависимость).

Полезно взять реалистичные значения $R=6400$ км и $H=200$ км, и оценить, какую долю составляет каждое слагаемое от «эталонного» $R^3$. Мы получим:
$3R^2H\approx 0.09 R^3$ (сохраняем)
$3R H^2\approx 0.003 R^3$ (отбрасываем)
$H^3\approx 0.00003 R^3$ (отбрасываем)

Я прочитал в другой Вашей теме, что Вы изучаете физику недавно. Тогда, понятно, такие вещи могут вызывать замешательство. В физике величинами, слабо влияющими на интересующий эффект, при грубой оценке пренебрегают.

P.S. Да, посмотрите внимательно, что должно быть под корнем.

[Mihr]

В задачах такого рода оказывается полезным приближённое равенство $(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$ (если $|x|\ll1$). Постарайтесь это равенство запомнить. Не раз поможет.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.