Свойство числа пи

[Rusit8800]

Положим $\[{\pi _d} = \left\lfloor {\pi \cdot {{10}^d}} \right\rfloor \]$. Я уже долгое время не могу доказать, что

$$\[(1 + {\pi _d}) \cdot arctg({10^{ - d}}) > \pi \]$$

.
Вот все, что мне удалось сделать:
1) Я разложил в ряд Маклорена $x - arctg(x)$ и показал, что $\[arctg({10^{ - d}}) > {10^{ - d}} - {10^{ - 3d}}\]$
2) Оценил снизу $\[(1 + {\pi _d}) \cdot arctg({10^{ - d}})\]$:

$$\[\begin{array}{l} (1 + {\pi _d}) \cdot arctg({10^{ - d}}) > (1 + {\pi _d}) \cdot ({10^{ - d}} - {10^{ - 3d}}) = ({\pi _d}{10^{ - d}} + {10^{ - d}}) - \\ - ({\pi _d}{10^{ - d}} + {10^{ - d}}) \cdot {10^{ - 2d}} = 3,1415...({a_d} + 1) - 0,\underbrace {00..0}_{2d - 1}31415...({a_d} + 1) > \\ > 3,1415...({a_d} + 1) - 4 \cdot {10^{ - 2d}} = 3,1415...{a_d}\underbrace {99...96}_d \end{array}\]$$

Здесь $\[{a_d}\]$ - $d$ -ая цифра числа Пи после запятой.
Интуитивно понятно, что

$$3,1415...{a_d}\underbrace {99...96}_d\[ > \pi \]$$

при любом $d$, так как в числе Пи редко появляются много подряд идущих девяток - обычно там встречаются цифры, меньшие 9. Разве что можно вспомнить точку Фейнмана, и то она начинается с $762$ позиции, тогда $d = 761$ и начиная с $762$ позиции должно было бы идти $760$ девяток. Но доказать, что в десятичном разложении подряд идущие девятки встречаются "достаточно редко и в небольших количествах" мне не представляется возможным.
Что можете подсказать?

[DeBill]

Rusit8800
Дык - оцените арктангенс поточнее - и будет Вам щастя...
А впрочем - нет, не будет, а будут те же проблемы, да.

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1431487 писал(а):

Дык - оцените арктангенс поточнее - и будет Вам щастя...
А впрочем - нет, не будет, а будут те же проблемы, да.

Да-да, проблемы именно с самим числом Пи.
Я еще пробовал вообще все разложить в ряд Маклорена, включая $\[\pi = 4arctg(1)\]$, получить два неравенства с рядами. Но получается слишком громоздко.

[DeBill]

Rusit8800 в сообщении #1431490 писал(а):

включая $\[\pi = 4\arctg(1)\]$,

Ну, этот ряд сходится слишком медленно для получения доброкачественных оценок. Может, использовать другие разложения?

-- 22.12.2019, 18:33 --

Например, знакочередующийся ряд со знаменателями типа три в энной (есть в Вики). По Лейбницу, ошибка вполне себе контролируема...

[Dmitriy40]

(Бездоказательные мысли)

Не доказательство, но всё же: в A048940 есть позиции последовательностей девяток для $d=1..11$, последняя там больше 27 млрд, т.е. $d$ не может быть меньше 27 млрд.
Далее, если я правильно понял, то нужно чтобы были $d$ первых цифр, а потом ровно столько же (плюс-минус одна-две) девяток, так ведь? Но тогда кардинально нарушится равночастность всех цифр. Конечно последнее вроде бы не доказано, да и вообще миллиарды девяток подряд могут быть и артефактом, но это слишком уж невероятно.

Если что, проверил в PARI/GP все $d$ до 10000, контрпримера не найдено.

[Rusit8800]

Dmitriy40 в сообщении #1431511 писал(а):

Далее, если я правильно понял, то нужно чтобы были $d$ первых цифр, а потом ровно столько же (плюс-минус одна-две) девяток, так ведь?

Минус одна. По сути нужно доказать, что не существует такого $d$, что все цифры числа Пи с $d+1$ по $2d-1$ были девятками.

Dmitriy40 в сообщении #1431511 писал(а):

Конечно последнее вроде бы не доказано, да и вообще миллиарды девяток подряд могут быть и артефактом, но это слишком уж невероятно.

Именно поэтому мне кажется, что утверждение выше верно.

[arseniiv]

А тут вообще важно, что число — $\pi$? Выглядит как утверждение об арктангенсе.

[Dmitriy40]

Rusit8800 в сообщении #1431513 писал(а):

По сути нужно доказать, что не существует такого $d$, что все цифры числа Пи с $d+1$ по $2d-1$ были девятками.

А нельзя ли ослабить требование триллионов девяток до требования тысяч-миллионов шестнадцатиричных цифр подряд типа из серединки девяток? А то для них есть формула, может с ней проще получить оценки? Это так, мысли вслух.

[Rusit8800]

arseniiv в сообщении #1431514 писал(а):

А тут вообще важно, что число — $\pi$? Выглядит как утверждение об арктангенсе.

Важно. По сути я хочу уточнить решение задачи о столкновении грузов. Если вы посмотрите видео, то увидите, что в доказательстве имеется логический пробел в месте, где арктангенс заменяется на асимптотически эквивалентную ей линейную функцию. В хорошему нужно строго доказать соответствующие оценки для самого арктангенса, а не его замены - $y(x)=x$.

Dmitriy40 в сообщении #1431526 писал(а):

А нельзя ли ослабить требование триллионов девяток до требования тысяч-миллионов шестнадцатиричных цифр подряд типа из серединки девяток?

Не понимаю вопрос. Не могли бы вы уточнить?

[arseniiv]

Rusit8800 в сообщении #1431540 писал(а):

Важно.

Ну исходно там $\pi$, да, но по-моему должно работать с любым числом. Тогда дело не в распределении цифр чисел, а в арктангенсе (и поле, в смысле floor).

[grizzly]

Для справки о количестве подряд идущих девяток в числе $\pi$

(Мат.просвещение 18)

«Тонкая структура» числа $\pi$

Какие комбинации цифр возможны, а какие невозможны в десятичном разложении числа $\pi$? До недавнего времени на этот счёт нельзя было сказать ничего вразумительного. Но вот появился первый результат на эту тему. Автору брошюры его сообщил профессор Восточного Иллинойсского университета Григорий Александрович Гальперин.

Рассмотрим любые $m$ цифр числа $\pi$, идущие подряд, начиная с самого начала: 314... Австралийский математик Альф ван дер Поортен доказал, что сразу же за этими $m$ цифрами в десятичном разложении числа $\pi$ не может идти набор из $7m$ девяток: за первой цифрой 3 не идёт 7 девяток; за цифрами 31 не идут 14 девяток и т. д.

Г. А. Гальперин выдвигает гипотезу, что сразу же за $m$ первыми цифрами числа $\pi$ не может идти набор из $m$ девяток. Эта гипотеза верна по крайней мере для тех цифр числа $\pi$, которые в настоящее время вычислены с помощью компьютеров. Верна ли эта гипотеза в общем случае, неизвестно.

[Rusit8800]

grizzly в сообщении #1431550 писал(а):

Г. А. Гальперин выдвигает гипотезу, что сразу же за $m$ первыми цифрами числа $\pi$ не может идти набор из $m$ девяток. Эта гипотеза верна по крайней мере для тех цифр числа $\pi$, которые в настоящее время вычислены с помощью компьютеров. Верна ли эта гипотеза в общем случае, неизвестно.

Почти но немного не то. Моя гипотеза сильнее: сразу же за $m$ первыми цифрами числа $\pi$ не может идти набор из $m-2$ девяток для $m > 2$.

arseniiv в сообщении #1431545 писал(а):

Тогда дело не в распределении цифр чисел, а в арктангенсе

Думал об этом, но не продвинулся. Попробую еще раз завтра.

arseniiv в сообщении #1431545 писал(а):

и поле, в смысле floor

Что это значит?

[grizzly]

Чуть больше об этой же технике можно почитать здесь, начиная со стр. 388 (я уверен, что читал это на русском, но не могу быстро найти ни в своей библиотеке, ни в сети).

-- 23.12.2019, 00:25 --

Rusit8800 в сообщении #1431551 писал(а):

Почти но немного не то. Моя гипотеза сильнее: сразу же за $m$ первыми цифрами числа $\pi$ не может идти набор из $m-2$ девяток для $m > 2$.

Вы, однако, тонкий ценитель гипотез :)
Можете не сомневаться, что гипотеза верна также для $[m/2]$ девяток, и что бесконечно много более сильных подобных гипотез тоже будут верны.

-- 23.12.2019, 00:28 --

Rusit8800 в сообщении #1431551 писал(а):

Почти но немного не то.

И, кстати, давайте рассуждать логически. Если неизвестно, верна ли более слабая гипотеза, что можно сказать о Вашей? И тогда в каком смысле это "не то"?

[arseniiv]

Rusit8800 в сообщении #1431551 писал(а):

Что это значит?

$\lfloor\ldots\rfloor$. Меня угораздило так выразиться, что даже добавление в скобках не распутало.

[Dmitriy40]

Rusit8800 в сообщении #1431540 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1431526 писал(а):

А нельзя ли ослабить требование триллионов девяток до требования тысяч-миллионов шестнадцатиричных цифр подряд типа из серединки девяток?

Не понимаю вопрос. Не могли бы вы уточнить?

Да хотел из условия $3.14159265....9999999999...._{10}$ получить условие $\mathrm{3.243F6A.....XXXXXX...._{16}}$, причём чтобы цифры XXXXX не зависели от $d$. И проверить могут ли они быть в числе $\pi$ формулой Бэйли — Боруэйна — Плаффа.
Но похоже это не работает.