Композиция распределений дискретной случайной величины

[adtsvetkov]

Всем доброго времени суток!
Прошу помочь разобраться с формулой:

Задача следующая:

Это геометрическое распределение, соответственно дисперсия и матожидание просто сложились (т.к. у нас композиция) по формулам из википедии.
А вот как правильно подставить две функции вероятности из той же википедии $p_1q_1^{n}$ и $p_1q_2^{n}$ в вышеуказанную формулу, и получить требуемый ответ:

не могу понять :(
При прямой подстановке получилось $P(X+Y=m) = \sum_{k=0}^m P(X=k)P(Y=m-k) = \sum_{k=0}^m q_1^kp_1q_2^{m-k}p_2 = \frac{p_1p_2((1-p_2)^{m+1}-(1-p_1)^{m+1})}{p_1-p_2} $ (не знаю, верно ли?)
Выглядит похоже, но все-таки не то - нашел функцию вероятности, а нужно функцию распределения.
Теперь все та же википедия говорит, что для дискретных величин можно просто просуммировать по всем $p_i$ (не очень понимаю, как), чтобы получить искомую функцию. При суммировании в лоб получилось так:

что точно неверно, а как правильно - непонятно. Буду рад любым пояснениям, спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набраны формулы и текст (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.