Дифференцирование интеграла Лебега по параметру

[Padawan]

А вот интересно, есть какая-нибудь общая теорема о дифференцировании абстрактного интеграла $\int_X f(x,z) d\mu_x$ по параметру $z$?
А то все время неинтересно теоремы из матанализа с кучей условий проверять. Вот допустим, хорошо бы была такая теорема:
Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$ в области $G\subset \mathbb C$, и при каждом $z\in G$ существует интеграл Лебега $I(z)=\int_X f(x,z) d\mu_x$. Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.

Встречались кому-нибудь такие теоремы? Наверное, в теорвере они должны быть. Там характеристические функции дифференцируют же.

[pogulyat_vyshel]

Вложение:

3c380e8aa7fc.png [ 91.79 Кб | Просмотров: 0 ]

[Padawan]

Спасибо. А ссылку на источник дадите?

[pogulyat_vyshel]

Bruce K. Driver. Analysis Tools with Applications

[Padawan]

Условия на картинке по ссылке аналогичны стандартным: сам интеграл сходится хотя бы в одной точке, а продифференцированный интеграл равномерно сходится. Надо посмотреть технику доказательства. А в случае аналитической зависимости от параметра достаточно, чтобы сам интеграл равномерно сходился в комплексной области. Потому что равномерный предел аналитический функций будет аналитической функцией и можно почленно дифференцировать по $z$. Поэтому, скорее всего, теорема, которую я предположил, тоже правильная

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.

[pogulyat_vyshel]

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$

Когда я вижу такой объект мне всегда хочется заменить его на аналитическую функцию от $z$ со значениями в $L^1(X).$

[Padawan]

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$ в области $G\subset \mathbb C$, и при каждом $z\in G$ существует интеграл Лебега $I(z)=\int_X f(x,z) d\mu_x$. Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.

Доказательство. Применим интегральную формулу Коши и теорему Фубини, два раза поменяем порядок интегрирования: туда и обратно. Подробности под оффтопиком.

(Оффтоп)

Возьмём контур $\Gamma\subset G$, содержащий точку $z_0$ и еще какую-нибудь окрестность $U$ точки $z_0$, такую, чтобы $|z-\zeta|>\delta>0$ при всех $z\in U$ и $\zeta\in \Gamma$. По интегральной формуле Коши $f(x,z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(x,\zeta)}{\zeta-z} d\zeta $ для всех $x\in X$, $z\in U$. Тогда $I(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_X d\mu_x\int_\Gamma\frac{f(x,\zeta)}{\zeta-z} d\zeta$. Так как $|\frac{f(x,\zeta)}{\zeta-z}|\leqslant \varphi(x)/\delta$ для всех $x\in X$, $\zeta\in \Gamma$, то по теореме Фубини можно поменять порядок интегрирования. Получим $I(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z}\int_X f(x,\zeta) d\mu_x=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{I(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$, причем функция $I(\zeta)$ по модулю ограничена константой $\int_X\varphi (x)d\mu_x$. Значит, $I(z)$ аналитическая в области $U$ функция, и её производная $I'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma \frac{I(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta$. Опять применяя теорему Фубини и меняя порядок интегрирования, получим, что $I'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_Xd\mu_x\int_\Gamma\frac{f(x,\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta=\int_X f'_z(x,z)d\mu_x$.

[DeBill]

Padawan в сообщении #1428024 писал(а):

Надо посмотреть технику доказательства.

Для интеграла Лебега есть аж целых три замечательных теоремы о предельном переходе: Лебега, Леви, и Фату.
Самая удобная-популярная - Лебега, и техника , скорее всего, опирается именно на нее.
Собственно, одно из важнейших достоинств интеграла Лебега - как раз в наличии этих удобных инструментов...

[--mS--]

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

Наверное, в теорвере они должны быть. Там характеристические функции дифференцируют же.

Характеристическая функция - функция вещественной, а не комплексной переменной.

[Padawan]

--mS-- в сообщении #1428101 писал(а):

Характеристическая функция - функция вещественной, а не комплексной переменной.

Я в общем про теоремы о дифференцировании по параметру. Вот теорема, которую привел pogulyat_vyshel как раз подходит, в случае, если случайная величина имеет конечное матожидание.
А вот, например, из теоремы, которую я привел, следует, что если для некоторого $\delta>0$ конечно матожидание случайной величины $e^{\delta|\xi|}$, то характеристическая функция случайной величины $\xi$ будет аналитической в окрестности нуля радиуса $\delta$.

[Padawan]

Padawan в сообщении #1428031 писал(а):

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$ в области $G\subset \mathbb C$, и при каждом $z\in G$ существует интеграл Лебега $I(z)=\int_X f(x,z) d\mu_x$. Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.

Доказательство. Применим интегральную формулу Коши и теорему Фубини, два раза поменяем порядок интегрирования: туда и обратно.

Вообще круто. Для применения теоремы Фубини достаточно потребовать всего лишь, чтобы $\int_X |f(x,z)|d\mu_x\leqslant M$ для всех $z\in G$. Тогда можно дифференцировать по параметру сколько угодно раз.

[rumsim]

С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЛЕБЕГУ Новосибирск 2014
http://old.math.nsc.ru/~matanalyse/Lebesgue.pdf
В начале раздела предположено, что для любого x функция измерима по t.
Формально терема из Водопьяного немножко боле общая по формулировке по сравнению с терема из Bruce K. Driver. Analysis Tools with Applications Springer 2003 стр. 181 https://mathweb.ucsd.edu/~bdriver/231-0 ... alpde1.pdf, но доказательство Драйвера тоже проходит и для теорема в форме Водопьяного с минимальным уточнением. Доказательства разные, каждое имеет свою красоту и свою „естественность“.
Возможно еще обобщить, а также возможно стеснить общность, но сделать таким образом блеее простым приложением теорему в большинстве случаях.
Странно що затрудняюсь указать ссылку на более ранные авторы. Кто нибудь поможет?

В формулировке Padawan-а и в его/ee доказательстве, надо еще проверят, что f(x,z) есть измерима по двух аргументов (x,z):
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem
Failure of Tonelli's theorem for non-measurable functions
Suppose that X is the first uncountable ordinal, with the finite measure where the measurable sets are either countable (with measure 0) or the sets of countable complement (with measure 1). The (non-measurable) subset E of X×X given by pairs (x,y) with x<y is countable on every horizontal line and has countable complement on every vertical line. If f is the characteristic function of E then the two iterated integrals of f are defined and have different values 1 and 0. The function f is not measurable. This shows that Tonelli's theorem can fail for non-measurable functions.

[rumsim]

В формулировке Padawan-а и в его/ee доказательстве, надо еще проверят, что f(x,z) - z=z(θ) ограниченне на кружностях в G, есть измерима по двух аргументов (x,θ):
https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem

Failure of Tonelli's theorem for non-measurable functions
Suppose that X is the first uncountable ordinal, with the finite measure where the measurable sets are either countable (with measure 0) or the sets of countable complement (with measure 1). The (non-measurable) subset E of X×X given by pairs (x,y) with x<y is countable on every horizontal line and has countable complement on every vertical line. If f is the characteristic function of E then the two iterated integrals of f are defined and have different values 1 and 0. The function f is not measurable. This shows that Tonelli's theorem can fail for non-measurable functions.

Failure of Fubini's theorem for non-measurable functions
A variation of the example above shows that Fubini's theorem can fail for non-measurable functions even if |f| is integrable and both repeated integrals are well defined: if we take f to be 1 on E and –1 on the complement of E, then |f| is integrable on the product with integral 1, and both repeated integrals are well defined, but have different values 1 and –1.

Assuming the continuum hypothesis, one can identify X with the unit interval I, so there is a bounded non-negative function on I×I whose two iterated integrals (using Lebesgue measure) are both defined but unequal. This example was found by Wacław Sierpiński (1920).[6] The stronger versions of Fubini's theorem on a product of two unit intervals with Lebesgue measure, where the function is no longer assumed to be measurable but merely that the two iterated integrals are well defined and exist, are independent of the standard Zermelo–Fraenkel axioms of set theory. The continuum hypothesis and Martin's axiom both imply that there exists a function on the unit square whose iterated integrals are not equal, while Harvey Friedman (1980) showed that it is consistent with ZFC that a strong Fubini-type theorem for [0, 1] does hold, and whenever the two iterated integrals exist they are equal.[7] See List of statements undecidable in ZFC.

[svv]

rumsim
На этом форуме обязательно использование языка $\TeX$ для записи формул, вплоть до обозначений переменных в тексте. Посмотрите, как пишут другие участники.
Водопьянов — Водопьяного Водопьянова. Теорема Водопьянова.

[rumsim]

https://www.mi-ras.ru/books/pdf/ser2.pdf А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Москва 2004
стр. 106
Лемма. Пусть даны область $ D \subset \mathbb{C} $ и НЕПРЕРЫВНАЯ функция
$\varphi = \varphi(t, z): [a, b] \times D \to \mathbb{C} $,
голоморфная по переменной $z \in D$ при каждом фиксированном
$t \in [a, b]$. Рассмотрим функцию f, задаваемую интегралом
$ f(z) =\int\limits_{a}^{b}{\varphi (t, z) dt}. $
Тогда f голоморфна в D.
Кстати, из теоремы Фубини, также цитированной в доказательстве Домрина и Сергеева, следует что
$ f'(z) =\int\limits_{a}^{b}{\partial_z \varphi (t, z) dt}.$

-- 06.03.2023, 18:28 --

svv в сообщении #1584621 писал(а):

rumsim
На этом форуме обязательно использование языка $\TeX$ для записи формул, вплоть до обозначений переменных в тексте. Посмотрите, как пишут другие участники.
Водопьянов — Водопьяного Водопьянова. Теорема Водопьянова.

Спасибо svv. Это мой 1-вы день здес. Работаю над использовании $\TeX$.
К сожалению, хочу но не могу отредактировать Водопьяного. Достиг лимит редактрований.
Кстати, почему есть лимит редактрваний? Извините мой руский язык, я болгарин.

А по существу,
Вы согласен или нет, что
без допольнителного условия о измеримости по двух аргументам,
в общем случае утверждение Padawan не можно считать доказанным?