Дифференцирование интеграла Лебега по параметру

[rumsim]

Правка.

Выше написал https://www.mi-ras.ru/books/pdf/ser2.pdf А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Москва 2004
стр. 106,

а имел ввиду

https://www.mi-ras.ru/books/pdf/ser1.pdf А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Москва 2004
стр. 106

[Padawan]

rumsim
Да, измеримость $f(x, z)$ как функции двух переменных нужна.

[krum]

Padawan в сообщении #1428020 писал(а):

А вот интересно, есть какая-нибудь общая теорема о дифференцировании абстрактного интеграла $\int_X f(x,z) d\mu_x$ по параметру $z$?
А то все время неинтересно теоремы из матанализа с кучей условий проверять. Вот допустим, хорошо бы была такая теорема:
Пусть функция $f(x,z)$ при каждом фиксированном $x\in X$ является аналитической функцией от $z$ в области $G\subset \mathbb C$, и при каждом $z\in G$ существует интеграл Лебега $I(z)=\int_X f(x,z) d\mu_x$. Если $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$ при всех $z\in G$ и всех $x\in X$, и $\int_X\varphi(x) d\mu_x<+\infty$, то существует $I'(z)=\int_X f'_z(x,z) d\mu_x$.

Имеется непрерывное линейное отображение банаховых пространств $A:X\to Y$. Например $X=C^1[0,1],\quad Y=C[0,1],\quad A=\frac{d}{dx}$

Еще имеется пространство с мерой $(M,\sigma,\mu)$ и суммируемое отображение $f:M\to X$.
Спрашивается, можно ли делать так:

$$A\int_M fd\mu=\int_M A fd\mu\quad ?$$

Да, можно.

[Padawan]

Поясните, пожалуйста, что есть что?

[krum]

Хорошо, еще один пример. $X$ -- банахово пространство функций ,голоморфных в круге $|z|<2$ и непрерывных в замыкании этого круга с нормиой равномерной сходимости.
$Y$ -- тоже самое для функций голоморфных в $|z|<1$ и непрерывных в замыкании. $A=\frac{d}{dz}:X\to Y$ -- непрерывное отображение. $M=\mathbb{R}^m$ со стандартной мерой $d\mu=dx$. Отображение
$f\in L^1(M,X)$. Т.е. это суммируемое отображение $M\ni x\mapsto f(x,\cdot)\in X,\quad f=f(x,z),\quad \frac{d}{dz}\int_Mf(x,z)dx=\int_M\frac{d}{dz}f(x,z)dx$
В последней формуле некоторая вольность речи допущена, зато понятно.

[Padawan]

krum в сообщении #1584731 писал(а):

Отображение $f\in L^1(M,X)$. Т.е. это суммируемое отображение $M\ni x\mapsto f(x,\cdot)\in X$

1) Посоветуйте, пожалуйста, где лучше почитать об интегрировании вектор-функций. А то я только в Рудине Функциональный анализ читал, но там всё вроде бы в слабом варианте (даже детали забыл)
2) Как "функция $f(x, z) $, при каждом фиксированном $x$ являющаяся аналитической функцией от $z$", плюс $|f(x,z)|\leqslant \varphi(x)$, соотносится с суммируемым отображением $M\to$ пространство голоморфных функций. Есть ли тут биекция или включения хотя бы в одну сторону?

-- Вт мар 07, 2023 23:06:33 --

Я вот что хочу сказать: функциональный анализ, это один из возможных взглядов на проблему, он не лучше и не хуже, он другой. Да, он более высокого уровня абстракции, но часто это не помогает, так как обоснование тех или иных свойства пространств и отображений сводится к оценкам, доказываемым средствами низкоуровневого матана. . Это как бы другая культура. Да, более современная. Типа теории категорий. Ничего не хочу сказать против функана, сам его очень люблю и уважаю. Но так между делом им шиковать не стоит, типа тут всё очевидно. При обосновании всё равно проблемы будут. Конечно, взгляд сверху, общее понимание это хорошо, я согласен.
Не обижайтесь.

-- Вт мар 07, 2023 23:18:16 --

Вот просто, давайте, конкретно, докажите средствами функана теорему, которую я сформулировал. Да ещё и заменив условие $|f(x, z) |\leqslant \varphi(x) $ на $\int_X|f(x, z)| d\mu_x\leqslant M \;\;\forall z\in G$

-- Вт мар 07, 2023 23:18:57 --

Padawan в сообщении #1428265 писал(а):

Вообще круто. Для применения теоремы Фубини достаточно потребовать всего лишь, чтобы $\int_X |f(x,z)|d\mu_x\leqslant M$ для всех $z\in G$. Тогда можно дифференцировать по параметру сколько угодно раз.

[krum]

Padawan в сообщении #1584755 писал(а):

Посоветуйте, пожалуйста, где лучше почитать об интегрировании вектор-функций

Serge Lang Real Analysis

Для суммируемости отображения
$f(x,z)=\sum_{k=0}^\infty a_k(x)z^k$
из $M$ в пространство голоморфных в круге функций мне нужно что бы все коэффициенты Тейлора $a_k$ были измеримыми функциями и $|f(x,z)|\le g(x)\in L^1(M)$ для всех $z$ из круга и почти всех $x$. Или так

$$ \sum_{k=0}^\infty R^k\int_M|a_k|d\mu<\infty$$

Padawan в сообщении #1584755 писал(а):

Вот просто, давайте, конкретно, докажите средствами функана теорему, которую я сформулировал

больше ни чем померяться не хотите?

-- 07.03.2023, 22:50 --

дифференцирование -- локальная операция, условия в $G$ тут не по делу

[Padawan]

krum в сообщении #1584771 писал(а):

больше ни чем померяться не хотите?

Уважаемый сэр, не кажется ли Вам, что это Вы всегда со всеми меряетесь! Так и скажите, что не знаете ответа на мой вопрос! Понтуйтесь перед своими студентами!

-- Ср мар 08, 2023 00:57:23 --

Ставлю Вас в игнор за хамство. Надоел, придурок. Неприятный тип.

[Ende]

krum в сообщении #1584771 писал(а):

больше ни чем померяться не хотите?

Padawan в сообщении #1584773 писал(а):

Надоел, придурок. Неприятный тип.

Что ж, первым перешел на личности krum, но и Padawan в долгу не остался. Как эти ни печально, оба получают трехдневный бан.

[rumsim]

Оказывается, что мое утверждене „доказательство Драйвера тоже проходит и для теорема в форме Водопьянова с минимальным уточнением“ верно только в том случае когда параметр одномерен. Я не заметил, что часть предположении в теореме из ВОДОПЬЯНОВА фрмулированные в начале раздела, где указанно, eще условие, что при любого $x$ функция $f(x,t)$ переменной t измерима на множестве $T$.
Кроме равенство после дифференцировании, при предположиние что подинтегральная функция имеет дифференциал, ВОДОПЬЯНОВ доказывает, что и проинтегрированная функция тоже имеет дифференциал. Это утверждение не можно извлеч из доказательство Драйвера „минимальным уточнением.“. Так, что, формулировка и доказателства ВОДОПЬЯНОВА более общие и боле сильные, чем соответствующие формулировка и доказательство Драйвера.