Найти лагранжиан

[Oleg Zubelevich]

Пардон модераторам за некропостинг. Вопрос про лагранжев формализм в данной задаче интересен сам по себе , независимо от того, когда и кем он был задан.

MaхVT в сообщении #116179 писал(а):

тонкий диск массы $M$ может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной поверхности. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы $m.$ Уравнения $\bf{\text{относительного}}$ движения точки в декартовых координатах $x$ и $y,$ связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде $x=x(t),y=y(t).$ Момент инерции диска относительно его центра масс равен $J.$ Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.

Задачу эту я хочу решать, составляя уравнения Лагранжа.

Уравнения Лагранжа для этой системы написать очень легко, если сообразить, что функции $x=x(t),\quad y=y(t)$ задают идеальные связи, хотя и зависящие от времени. Система имеет три степени свободы, обобщенные координаты удобно выбрать следующим образом: $X,Y$ -- координаты центра диска в неподвижной декартовой системе на плоскости; $\phi$ -- угол поворота диска, отсчитываемый против часовой стрелки.
Остается написать лагранжиан, который равен кинетической энергии системы:

$$L(X,Y,\phi,\dot X,\dot Y,\dot\phi,t)=\frac{1}{2}M(\dot X^2+\dot Y^2)+\frac{1}{2}J\dot\phi^2+\frac{1}{2}m(\dot u^2+\dot w^2),$$

где

$$u=X+x(t)\cos\phi-y(t)\sin\phi,\quad w=Y+x(t)\sin\phi+y(t)\cos\phi$$