Найти лагранжиан

[MaхVT]

Собственно, лагранжев подход к задачам теоретической/аналитической механики привлекает своей универсальностью и простотой: не надо вспоминать законов сохранения, писать второй закон Ньютона вместе с силами реакций (которые направлены чаще всего непонятно как) --- нужно просто выписать лагранжиан, а дальше --- математика. Самая главная часть работы в поиске функции Лагранжа --- это запись кинетической энергии системы. И ранее у меня это получалось сделать. Но вот задача, где я не могу выписать кинетическую энергии и прошу помощи. Итак, формулировка:

тонкий диск массы $M$ может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной поверхности. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы $m.$ Уравнения $\bf{\text{относительного}}$ движения точки в декартовых координатах $x$ и $y,$ связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде $x=x(t),y=y(t).$ Момент инерции диска относительно его центра масс равен $J.$ Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.

Задачу эту я хочу решать, составляя уравнения Лагранжа. Но попытки записать кинетическую энергию по теореме Кенига кончаются неудачей --- вылезают какие-то лишние члены, которых нет в ответе. На самом деле проблема сводится вот к чему: чему равна скорость точки $m$ в осях Кенига? (напомню, что оси Кенига --- это система координат с началом в центре масс, движущаяся поступательно). Конечно, эту задачу можно решить, исходя из закона сохранения момента импульса, или вводя силы инерции. Но проблема опять-таки в записи скоростей. Наверное, кинематика -- это самое сложное в механике.

[Андрей123]

MaхVT писал(а):

Задачу эту я хочу решать, составляя уравнения Лагранжа. Но попытки записать кинетическую энергию по теореме Кенига кончаются неудачей --- вылезают какие-то лишние члены, которых нет в ответе. На самом деле проблема сводится вот к чему: чему равна скорость точки $m$ в осях Кенига? (напомню, что оси Кенига --- это система координат с началом в центре масс, движущаяся поступательно). Конечно, эту задачу можно решить, исходя из закона сохранения момента импульса, или вводя силы инерции. Но проблема опять-таки в записи скоростей. Наверное, кинематика -- это самое сложное в механике.

Чтобы найти скорость в осях Кёнига свяжите координаты точки в этих осях с теми координатами, что даны через угол поворота диска. Задача, по-моему, просто решается через законы сохранения импулься и момента импульса. Надо только их правильно выписать.

Добавлено спустя 33 минуты 15 секунд:

Выражение для кинетической энергии получается таким
$T=M \frac{X'^2+Y'^2}{2}+\frac{m}{2}(xx'^2+yy'^2)+\frac{J}{2} \omega^2$, где $X,Y$ - координаты центра масс диска, $xx,yy$ -координаты точки
$xx=X+x \cos(\phi)+y \sin(\phi),yy=Y-x \sin(\phi)+y \cos(\phi)$

Добавлено спустя 51 минуту 19 секунд:

Андрей123 писал(а):

Задача, по-моему, просто решается через законы сохранения импульс и момента импульса. Надо только их правильно выписать.

Насчёт просто я, наверное, погорячился, но уравнение для угла поворота выписывается.

[MaхVT]

Спасибо за помощь! Только видимо я и сам погорячился с лагранжевым подходом, ибо получается $\frac{\partial T}{\partial\dot{\varphi}}=J\dot\varphi=\mathrm{const},$ что очевидно неверно. Видимо, координаты $X,Y,x,y,\varphi$ неголономные. А как эту кинетическую энергию превратить в нормальный вид, чтобы можно было уравнения Лагранжа писать?

[Андрей123]

MaхVT писал(а):

Спасибо за помощь! Только видимо я и сам погорячился с лагранжевым подходом, ибо получается $\frac{\partial T}{\partial\dot{\varphi}}=J\dot\varphi=\mathrm{const},$ что очевидно неверно. Видимо, координаты $X,Y,x,y,\varphi$ неголономные. А как эту кинетическую энергию превратить в нормальный вид, чтобы можно было уравнения Лагранжа писать?

Так и пишите уравнения Лагранжа в виде:
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial\dot{x_i}})-\frac{\partial T}{\partial{x_i}}=Q_i$, где $Q_i$-коэффициент в выражении элементарной работы при $dx_i$

[MaхVT]

Сказать честно, мне их расхотелось писать сразу после того, как я по Вашим формулам посчитал квадрат скорости точки в абсолютной системе отсчета:
$xx'^{2}+yy'^{2}=\dot X^2+2\dot X\dot x\cos\varphi-2\dot X x\dot\varphi\sin\varphi+2\dot X y\dot\varphi\cos\varphi+x^{2}\dot\varphi^{2}+\dot Y-\ldots$, короче дальше еще такой же длины выражение. Наверное, Лагранжем в этой задаче неудобно пользоваться --- слишком длинно, да и тем более, как потом от этих $\dot X$ и $\dot Y$ избавляться? А от синусов и косинусов? Может, можно попроще?

[Архипов]

MaхVT писал(а):

тонкий диск массы $M$ может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной поверхности. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы $m.$ Уравнения $\bf{\text{относительного}}$ движения точки в декартовых координатах $x$ и $y,$ связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде $x=x(t),y=y(t).$ Момент инерции диска относительно его центра масс равен $J.$ Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.

Задачу эту я хочу решать, составляя уравнения Лагранжа. Наверное, кинематика -- это самое сложное в механике.

По-моему, задача составлена не грамотно. Ответа к ней не может быть.
1. Не задан коэф. трения.
2. Не задан закон движения материальной точки. $x=x(t),y=y(t).$ - не уравнения движения, а неопределенные (абстрактные) функции.
3. Материальная точка не может взаимодействовать с диском в принципе, так как она не имеет формы, объема и трущеся поверхности (то есть она должна провалиться сквозь диск и далее).

[Андрей123]

MaхVT писал(а):

Сказать честно, мне их расхотелось писать сразу после того, как я по Вашим формулам посчитал квадрат скорости точки в абсолютной системе отсчета:
$xx'^{2}+yy'^{2}=\dot X^2+2\dot X\dot x\cos\varphi-2\dot X x\dot\varphi\sin\varphi+2\dot X y\dot\varphi\cos\varphi+x^{2}\dot\varphi^{2}+\dot Y-\ldots$, короче дальше еще такой же длины выражение. Наверное, Лагранжем в этой задаче неудобно пользоваться --- слишком длинно, да и тем более, как потом от этих $\dot X$ и $\dot Y$ избавляться? А от синусов и косинусов? Может, можно попроще?

Попробуйте воспользоваться законами сохранения импульса и момента импульса. Первый записывается просто, над вторым придётся попотеть. Но тем не менее в итоге получите ДУ, описывающее изменение угла $\phi$. Не факт, что оно будет простое. Но, быть может, в задаче под словами закон изменения угловой скорости и понималось это ДУ.

Цитата:

По-моему, задача составлена не грамотно. Ответа к ней не может быть.
1. Не задан коэф. трения.
2. Не задан закон движения материальной точки. $x=x(t),y=y(t).$ - не уравнения движения, а неопределенные (абстрактные) функции.
3. Материальная точка не может взаимодействовать с диском в принципе, так как она не имеет формы, объема и трущеся поверхности (то есть она должна провалиться сквозь диск и далее).

1. А зачем он здесь?
2. Эти функции задают движение точки в системе координат, связанной с диском.
3. Материальная точка это лишь абстракция, но в некоторых случаях она даёт весьма удовлетворительные ответы, при этом упрощая задачу.

[Архипов]

Андрей123 писал(а):

1. А зачем он здесь?
2. Эти функции задают движение точки в системе координат, связанной с диском.
3. Материальная точка это лишь абстракция, но в некоторых случаях она даёт весьма удовлетворительные ответы, при этом упрощая задачу.

Задача физическая. Спрашивается в ней о законе движения диска, который неподвижен. Какая сила будет приводить его в движение? Материальная точка не взаимодействует с ним - нет причины движения диска. Задаче не содержит физических условий.

Теперь про Лагранжиан. Откуда он получается?
1.Возьмем две произвольных физических величины $x, y$.
2.Из них получим третью: $v=dy/dx$ и четвертую $z=dv/dx$.
3.Из последних получаем пропорцию $dy/v=dv/z$ или $v*dv=z*dy$.
4.Получили дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Интегрируем его в определенных интегралах :
$(V2^2-V1^2)/2=z*(Y2-Y1)$.
5. Умножим уравнение постоянную физическую величину $M$ и получим выражение, похожее на Лагранжиан:
$M*(V2^2-V1^2)/2=M*z*(Y2-Y1)$.
6. Но физические величины в нем не конкретны. Можно, например, считать, что $x$ - время, $y$ - заряд, $v$ - сила тока (скорость изменения заряда), $z$ - ускорение изменения заряда, $M$ - индукция. Уравнение будет выражать закон сохранения электрической энергии. Если $M$ - электрическое сопротивление, то уравнение будет выражать закон сохранения эл.мощности.
7. Но и это выражение пока не наполнено физическим смыслом. Нужно ввести начальные условия ($V2$) и причину движения (например силовой закон Кулона ($z=f(M,y)$). Вот, только теперь мы пришли от абстракции к конкретному содержанию.

[MaхVT]

Андрей123 писал(а):

Попробуйте воспользоваться законами сохранения импульса и момента импульса. Первый записывается просто

Пользуясь Вашими формулами для координат, закoн сохранения импульса я записал так (в проекции на неподвижные оси):

$$ (m+M)\dot X+m(\dot x\cos\varphi-x\dot\varphi\sin\varphi+\dot y\sin\varphi+y\dot\varphi\cos\varphi)=m\dot x_{0}, $$

$$ (m+M)\dot Y+m(-\dot x\sin\varphi-x\dot\varphi\cos\varphi+\dot y\cos\varphi-y\dot\varphi\cos\varphi)=m\dot y_{0}. $$

Закон сохранения момента импульса тоже ясно, как записать. Суммарный момент импульса системы в проекции на неподвижную вертикальную ось $z$ будет равен

$$J\dot\varphi+M(X\dot Y-\dot X Y)+m({\bf{r}}\times{\bf{v}})_{z}=\mathrm{const},$$

где

$${\bf{r}}=(X+x\cos\varphi+y\sin\varphi,Y-x\sin\varphi+y\cos\varphi,0) $$

, а скорость

$${\bf{v}}=(\dot X+\dot x\cos\varphi-x\dot\varphi\sin\varphi+\dot y\sin\varphi+y\dot\varphi\cos\varphi,\dot Y-\dot x\sin\varphi-x\dot\varphi\cos\varphi+\dot y\cos\varphi-y\dot\varphi\cos\varphi,0)$$

И что, мне действительно придется расписать эту громадную компоненту ${\bf r}\times{\bf v}$? Да это по-моему одинаково, что квадрат скорости точки посчитать. Неужели нельзя проще? Если тут и правда надо раскрывать это дурацкое векторное произведение, то буду писать (очень долго). Просто, как решать по-другому я не вижу. Если у Вас попроще, не могли бы Вы показать? Кстати, ответ такой:

$$\left[J+\frac{mM}{m+M}(x^{2}+y^{2})\right]\dot\varphi+\frac{mM}{m+M}(x\dot y-y\dot x)=\frac{mM}{m+M}(x_{0}\dot y_{0}-y_{0}\dot x_{0}).$$

Видно, что в ответе нет косинусов, синусов, а также координат и скоростей $X,Y,\dot X,\dot Y.$ Мне почему-то не верится, что из моей записи уравнений для импульса и момента импульса можно получить такой ответ.

[Андрей123]

MaхVT писал(а):

Неужели нельзя проще? Если тут и правда надо раскрывать это дурацкое векторное произведение, то буду писать (очень долго). Просто, как решать по-другому я не вижу. Если у Вас попроще, не могли бы Вы показать? Кстати, ответ такой:

$$\left[J+\frac{mM}{m+M}(x^{2}+y^{2})\right]\dot\varphi+\frac{mM}{m+M}(x\dot y-y\dot x)=\frac{mM}{m+M}(x_{0}\dot y_{0}-y_{0}\dot x_{0}).$$

Если честно, я не считал. Можно попробовать делать преобразования в каких-нибудь символьных пакетах: Mathematica, Maple. Может быть, если будет время, попробую.

MaхVT писал(а):

Видно, что в ответе нет косинусов, синусов, а также координат и скоростей $X,Y,\dot X,\dot Y.$ Мне почему-то не верится, что из моей записи уравнений для импульса и момента импульса можно получить такой ответ.

Синусы и косинусы, возможно сократятся. А координат и скоростей ц.м. диска там и не должно быть. Они выражаются из закона сохранения импульса через известные величины. Пробуйте. Ещё раз повторюсь, попытаюсь и я это сделать.

[MaхVT]

Это хорошо, что Вы следите за темой. Значит, я могу еще спросить.
Проще всего выписать все величины в системе Кенига. Я попытался так сделать. Координаты точки в осях Кенига будут

$$x_{k}=\frac{M}{m+M}(x\cos\varphi+y\sin\varphi),y_{k}=\frac{M}{m+M}(-x\sin\varphi+y\cos\varphi),$$

тогда скорость точки в проекциях на оси Кенига будет

$$\dot x_{k}=\frac{M}{m+M}(\dot x\cos\varphi-x\dot\varphi\sin\varphi+\dot y\sin\varphi+y\dot\varphi\cos\varphi),$$

$$\dot y_{k}=\frac{M}{m+M}(-\dot x\sin\varphi-x\dot\varphi\cos\varphi+\dot y\cos\varphi-y\dot\varphi\sin\varphi)$$

Момент инерции диска относительно вертикальной оси Кенига вычислим по теореме Гюйгенса-Штейнера

$$J_{k}=J+\frac{Mm^{2}(x^2+y^2)}{(m+M)^2}$$

.
Обозначим для удобства ${\bf r}_{k}=(x_k,y_k,0),{\bf v}_{k}=(\dot x_{k},\dot y_{k},0).$ Запишем закон сохранения момента импульса в осях Кенига, где $z$ --- вертикальная ось Кенига:

$$J_{k}\dot\varphi+m({\bf r}_{k}\times{\bf v}_{k})_{z}=\rm{const}.$$

Из такой записи всё получается горазло быстрее(без координат и скорости центра масс диска).
Главный вопрос: эти мои выкладки верны? Или я что-то неверно записал?

[Андрей123]

Интернетом сейчас пользуюсь платно, поэтому в следующий раз отвечу после выходных.Я тоже делал выкладки в другой системе, связанной с ц.м. диска. Там тоже ответ получается довольно быстро. У Вас, вроде бы, всё верно. Удачи.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Только ответ с приведённым не совпал. Но ещё раз проверю и после выходных отвечу.

Добавлено спустя 1 час 28 минут 16 секунд:

Всё-таки нашёл у Вас ошибку.

MaхVT писал(а):

Запишем закон сохранения момента импульса в осях Кенига, где $z$ --- вертикальная ось Кенига:

$$J_{k}\dot\varphi+m({\bf r}_{k}\times{\bf v}_{k})_{z}=\rm{const}.$$

Скорость каждой точки диска есть сумма скорости ц.м. системы и вращения вокруг этого ц.м.. Т.к. диск несимметричен относительно ц.м. системы, плюс к той части момента, что Вы написали:$J_{k}\dot\varphi$ Добавится ещё часть векторного произведения радиус вектора ц.м. диска относительно ц.м. системы на скорость ц.м. системы. Вообщем суть изложил. Не знаю понятно или нет. Нету времени.

[Андрей123]

Ответ у меня получился только в первых скобках вместо "+" "-" . Я воспользовался законом сохранения импульса и законом изменения момента импульса в системе координат, связанной с центром масс диска.

[MaхVT]

Андрей123 писал(а):

Добавится ещё часть векторного произведения радиус вектора ц.м. диска относительно ц.м. системы на скорость ц.м. системы.

Я думаю, что эту часть надо будет еще домножить на массу диска. Только вот в каких осях брать скорость центра масс системы? Ведь в осях Кенига эта скорость будет равна нулю.

[Андрей123]

Я сразу не заметил. Но в Вашем подходе ещё вот какая проблема. Ц.м. системы не жёстко связан с диском, поэтому представление скорости каждой точки диска в виде суммы скорости ц.м. системы и вращения вокруг этого ц.м. несправедливо. Так что при записи кинетического момента надо быть аккуратней. Пусть скрость ц.м. диска относительно ц.м. системы v,а R -его радиус вектор, тогда
$K_d=M R \times v +J_k\dot\varphi$. Так, что, как видите от координат ц.м. диска никуда не деться.Но это ничего страшного. В своём подходе преобразования я делал с помощью Mathematica. Думаю, в ручную ушло бы не более получаса.