Всем добрый день. У меня жутко сильные сомнения: правильно ли я понял то, о чём написано.
В книге П. С. Александрова (введение в теорию множеств и общую топологию), параграф 5, стр. 27:
"Подмножество M упорядоченного множества X назовём порядково выпуклым, если вместе с любыми двумя элементами a, b(
![[math]$a\prec[math]$ [math]$a\prec[math]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/2/ac2d39304aceb617c9592a008aad30c182.png)
b) множество M содержит ограниченный ими сегмент [a; b].
Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на множестве Y:
1. Для всякой точки x (знак принадлежности) множества Y всегда x эквивалентно x.
2.Если x, y принадлежат множеству Y и x неравно y, то x эквивалентно y тогда и только тогда, когда [x; y] "содержится либо равен" в множестве Y, если x<y, или [y; x] "содержится либо равен" в множестве Y, если y<x.
Пусть C -- произвольный класс эквивалентности a, b множества C и a<b. Из определения отношения эквивалентности вытекает, что [a; b] "содержится либо равен" Y. Для всякой точки x принадлежащей интервалу (a; b) имеем [a; b] "содержится либо равен" Y;
следовательно, a эквивалентно x и x принадлежит C. Поэтому множество C порядково выпукло."
___________________________
Вопрос первый. Почему M именно выпукло? Ввиду отношения порядка a<d<c<h...<b? То бишь значения последовательности возрастают с каждым следующим элементом; от наименьшего к наибольшему (на сегменте [a; b])? Хотя, если представить, выпуклость это мало напоминает. Объясните, пожалуйста. До этого у меня были и другие предположения, но уже канули в лету.
Вопрос второй. Почему отношение эквивалентности рассматривается именно на множестве Y? Т. е. это неспроста или что первым на ум пришло автору? Но почему тогда в определении 1 множеству Y принадлежит именно x? Не y, не a или b (или какая угодно иная буква), а именно x. Я бы не задался вопросом, если бы не сама суть этого определения: на множестве Y элемент x эквивалентен самому себе. Я ведь правильно понимаю, что это потому, что других элементов на множестве Y не задано и, следовательно, x может быть эквивалентен лишь самому себе?
Вопрос третий. Не совсем уяснил определение 2. Здесь уже два элемента из различных осей принадлежат именно Y. Но почему они эквивалентны? Ведь x<y (либо наоборот). Они эквивалентны потому, что у них общий сегмент, который "содержится либо равен" в множестве Y как в классе эквивалентности?
Также из последнего мне не особенно понятно, как из всего написанного следует, что множество C порядково выпукло? Не уверен, что я в самом деле правильно понял этот момент.
Прошу помочь разобраться. Жутко интересно, но не могу продолжить из-за изложенных выше сомнений.