Порядково выпуклая функция и отношение эквивалентности.

[NVektor]

Всем добрый день. У меня жутко сильные сомнения: правильно ли я понял то, о чём написано.
В книге П. С. Александрова (введение в теорию множеств и общую топологию), параграф 5, стр. 27:
"Подмножество M упорядоченного множества X назовём порядково выпуклым, если вместе с любыми двумя элементами a, b([math]$a\prec[math]$b) множество M содержит ограниченный ими сегмент [a; b].

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на множестве Y:
1. Для всякой точки x (знак принадлежности) множества Y всегда x эквивалентно x.
2.Если x, y принадлежат множеству Y и x неравно y, то x эквивалентно y тогда и только тогда, когда [x; y] "содержится либо равен" в множестве Y, если x<y, или [y; x] "содержится либо равен" в множестве Y, если y<x. $\subseteq$

Пусть C -- произвольный класс эквивалентности a, b множества C и a<b. Из определения отношения эквивалентности вытекает, что [a; b] "содержится либо равен" Y. Для всякой точки x принадлежащей интервалу (a; b) имеем [a; b] "содержится либо равен" Y;
следовательно, a эквивалентно x и x принадлежит C. Поэтому множество C порядково выпукло."
___________________________

Вопрос первый. Почему M именно выпукло? Ввиду отношения порядка a<d<c<h...<b? То бишь значения последовательности возрастают с каждым следующим элементом; от наименьшего к наибольшему (на сегменте [a; b])? Хотя, если представить, выпуклость это мало напоминает. Объясните, пожалуйста. До этого у меня были и другие предположения, но уже канули в лету.

Вопрос второй. Почему отношение эквивалентности рассматривается именно на множестве Y? Т. е. это неспроста или что первым на ум пришло автору? Но почему тогда в определении 1 множеству Y принадлежит именно x? Не y, не a или b (или какая угодно иная буква), а именно x. Я бы не задался вопросом, если бы не сама суть этого определения: на множестве Y элемент x эквивалентен самому себе. Я ведь правильно понимаю, что это потому, что других элементов на множестве Y не задано и, следовательно, x может быть эквивалентен лишь самому себе?

Вопрос третий. Не совсем уяснил определение 2. Здесь уже два элемента из различных осей принадлежат именно Y. Но почему они эквивалентны? Ведь x<y (либо наоборот). Они эквивалентны потому, что у них общий сегмент, который "содержится либо равен" в множестве Y как в классе эквивалентности?

Также из последнего мне не особенно понятно, как из всего написанного следует, что множество C порядково выпукло? Не уверен, что я в самом деле правильно понял этот момент.

Прошу помочь разобраться. Жутко интересно, но не могу продолжить из-за изложенных выше сомнений.

[vpb]

NVektor
Во-первых, текст набран очень плохо. Ну, да это дело модератора.
Во-вторых, вы ничего не поняли от слова совсем. Возникают вопросы (1) в каком вы классе ? (2) какую последнюю книжку по математике прочитали, и (3) приведите определение, что такое отношение экввалентности, и пример какой-нибудь.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.