Задача Пола Эрдёша о равных расстояниях

[Dranduid56]

Для того, чтобы найти максимальное отношение количества равных отрезков к числу вершин на плоскости, нужно заметить, что максимальное кол-во равных отрезков достигается в случае рассмотрения правильного 6-угольника: 6 вершин являются вершинами 6-угольника, и 1 вершина - в центре симметрии этого 6-угольника. Заметим, что существует 2 оптимальных расположения данных 6-угольников. Первый: 6-угольники располагаются лишь горизонтально и вертикально, то есть если рассмотреть прямоугольник со сторонами a и b, то в него будет входить целое число таких 6-угольников. Второй: 6-угольники располагаются в форме сот, при этом количество 6-угольников в ряде (ряд имеет форму vvvv...v) будет нечётным; если рассмотреть прямоугольник со сторонами a и b, то в него должны входить все 6-угольники, при этом должны быть построены вершины в точках "возможных" 6-угольников (пространствах, являющихся половиной 6-угольника), при этом крайняя левая и крайняя правая вершины под самым нижним рядом должны располагаться так, чтобы количество равных отрезков, исходящих из этих точек равнялось 3.
Рассмотрим первый случай: найдём количество вершин в самом верхнем горизонтальном ряде. Не трудно убедиться, что их кол-во высчитывается по формуле 6n+1, где n - число 6-угольников в горизонтальном ряде. Допустим, что таких горизонтальных рядов k штук, тогда в остальных рядах (кроме верхнего) будет располагаться по 4n+1 вершин (при учёте того, что первый ряд и второй, второй и третий и т.д. имеют часть общих вершин). Тогда общее число вершин находится по формуле: 1+6n+(1+4n)(k-1)=2n+k+4kn. Найдём число равных длин в полученных 6-угольниках: В первом ряде кол-во равных сторон равно 12n, во втором и последующих рядах 11n (при учёте того, что первый и второй ряд, второй и третий и т.д. имеют часть общих равных сторон). Тогда общее число равных сторон в 6-угольников находится по формуле: 12n+11n(k-1)=n+11nk. Заметим, что существуют отрезки, равные сторонам 6-угольников, но таковыми не являющиеся. Их количество можно найти по формуле: (n-1)(k+1). Тогда общее число равных отрезков имеет формулу: n+11nk+(n-1)(k+1)=2n-k-1+12nk. Из известного количества равных отрезков и вершин можно найти их отношение: (2n-k-1+12kn)/(2n+k+4kn)=3-(4n+4k+1)/(2n+k+4kn). Так как n и k являются неотрицательными, то данное отношение не превосходит 3. Приравняв n и k и устремив их к бесконечности (если будет бесконечное число 6-угольников, то и число вершин будет такое же кол-во), получим, что отношение (4n+4k+1)/(2n+k+4nk) стремится к 0, следовательно искомое отношение стремится к 3.
Рассмотрим второй случай: найдём количество вершин в самом верхнем ряде (ряд вида vvv...v). Заметим, что их количество определяется по формуле: 2+5n, где n обязательно является нечётным. Найдём число вершин, которые служат вершинами 6-угольника. Для этого заметим, что второй, третий и последующие ряды содержат 2+3n вершин. Тогда общее число вершин, служащих вершинами 6-угольников, находится по формуле: 2+5n+(k-1)(2+3n)=2n+2k+3nk. Найдём число остальных вершин (они образуют 3 или 4 равных отрезка, что является наиболее оптимальным выбором). Заметим, что их n штук. Тогда общее число вершин в пространстве находится по формуле: 3n+2k+3nk. Найдём количество равных сторон в 6-угольниках. Заметим, что в первом ряде число равных сторон находится по формуле: 1+11n. Во втором и последующих рядах - 2+9n (с учётом того, что первый и второй ряд, второй и третий и т.д. имеют часть общих сторон). Тогда общее число равных отрезков в 6-угольниках будет находится по формуле: 1+11n+(2+9n)(k-1)=-1+2n+2k+9nk. Найдём число равных отрезков, полученных не из 6-угольников. Их количество будет находится по формуле: 4n-2 (при n=3,5,7...). При n=1, число таких отрезков будет равно 0. Пусть n=3,5,7... Тогда общее число равных отрезков будет находится по формуле: -1+2n+2k+9nk+4n-2=-3+6n+2k+9nk. Зная число равных отрезков и вершин на плоскости, можно найти их отношение. Оно будет равно: (-3+6n+2k+9nk)/(3n+2k+3nk)=3-(3n+4k+3)/(3n+2k+3nk). Так как n и k являются неотрицательными, то отношение (3n+4k+3)/(3n+2k+3nk) будет положительным. Приравняв n и k и устремив их к бесконечности (если будет бесконечное число 6-угольников, то и число вершин будет такое же кол-во), получим, что отношение (3n+4k+3)/(3n+2k+3nk) стремится к 0, а значит искомое отношение - к 3.
Таким образом, рассмотрев 2 наиболее оптимальных случая расположения бесконечного числа вершин, мы доказали, что отношение числа равных отрезков к количеству вершин не превышает 3, при этом данное отношение стремится к этому значению.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- и что, собственно, вы хотите?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.