Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)

[ewert]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

2. Даны квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$. Известно, что квадратные трехчлены $3f(x)+g(x)$ и $f(x)-g(x)$ имеют по одному корню, а $f(x)$ имеет два корня. Докажите, что квадратный трехчлен $g(x)$ не имеет корней.

Тут, наверное, надо в лоб. Не ограничивая общности, считаем $f(x)=x^2-1$, и пусть $g(x)=ax^2+bx+c$; тогда $f(x)+t\,g(x)=(1+ta)x^2+tb\,x+(tc-1)$. Дискриминант этого трёхчлена $t^2b^2-4(ta+1)(tc-1)$ должен равняться нулю, если мы хотим, чтобы был один корень, откуда получаем квадратное уравнение $(b^2-4ac)t^2+4(a-c)t+4=0$ для параметра $t$. По условию это уравнение должно иметь два решения разных знаков ($t=\frac13$ и $t=-1$), откуда $b^2-4ac<0$, ч.т.д.

waxtep в сообщении #1425042 писал(а):

bot в сообщении #1425020 писал(а):

5. На плоскости расположены две различные точки $B$ и $C.$ Взяв произвольно точку $A_0$, построим последовательность точек $A_n$ по правилу:

$$\begin{matrix}A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, CA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{нечётном}\\ A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, BA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{чётном}\end{matrix}$$

Докажите сходимость и найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\mid A_nA_{n+1}\mid.$

$1/3$, можно координатным методом

Можно, но не нужно -- достаточно выбрать систему координат так, чтобы исходные точки лежали на одной оси и одна из них в начале координат. Тогда $x_{n+2}$ выражается через $x_{n}$ с помощью некоторого разностного уравнения, которое легко можно выписать явно. Но, опять же, не нужно: общим решением такого уравнения будет сумма некоторой геометрической прогрессии и некоторой константы, причём геометрическая прогрессия может быть только убывающей -- просто потому, что все точки зажаты исходным промежутком (по той же причине исключается и арифметическая прогрессия). Это уже означает сходимость; что же касается постоянной добавки, то значение $\frac13|BC|$ бросается в глаза как подходящее -- а значит , это та самая константа и есть.

[ewert]

thething в сообщении #1422637 писал(а):

$f'(x)=\frac{\cos^3(x)-2\cos^2(x)+1}{\cos^2(x)}$ или $f'(t)=\frac{t^3-2t^2+1}{t^2}=\frac{(t-1)(t^2-t-1)}{t^2}>0$ при $0<t<1$.

Последнее излишне: достаточно того, что $\cos x+\frac1{\cos^2x}>\cos x+\frac1{\cos x}>2$ при $\cos x\neq1$.

bot в сообщении #1422632 писал(а):

3. Пусть функция $f$ непрерывна на промежутке $[0;+\infty) $ и существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x).$ Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{1}f(nx)\,dx=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

Поскольку непрерывность здесь совсем не при чём, ссылаться на теорему о среднем не будем; на Штольца -- тоже как-то перебор.

Случай конечного предела стандартным образом сводится к случаю $f(x)\to0$, и тогда всё очевидно:
$\left|\int\limits_0^{1/\sqrt{n}}f(nx)\,dx+\int\limits_{1/\sqrt{n}}^1f(nx)\,dx\right|\leqslant\frac1{\sqrt{n}}\sup\limits_x|f(x)|+\sup\limits_{t\geqslant\sqrt{n}}|f(t)|\to0.$
Случай бесконечного предела (для определённости плюс бесконечного) несколько деликатнее, но и грубее. Сам по себе интеграл $\int\limits_0^nf(t)\,dt$ возрастает (во всяком случае, начиная с некоторого номера) и, следовательно, при всех $n$ не меньше некоторой фиксированной константы $C$. Поэтому
$\int\limits_0^{1/2}f(nx)\,dx+\int\limits_{1/2}^1f(nx)\,dx\geqslant\frac{C}{n}+\inf\limits_{t\geqslant\frac{n}{2}}f(t)\to+\infty.$

(Не очень понятно, что здесь олимпиадного -- это же стандартная теорема. Разве что считать олимпиадным переход $\int\limits_0^1f(nx)\,dx=\frac1n\int\limits_0^nf(t)\,dt$ ..?

[DeBill]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

2. Даны квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$. Известно, что квадратные трехчлены $3f(x)+g(x)$ и $f(x)-g(x)$ имеют по одному корню, а $f(x)$ имеет два корня. Докажите, что квадратный трехчлен $g(x)$ не имеет корней.

Имеют по одному корню - графики есть параболы, касающиеся оси абсцисс. Их сумма (равная $4f$) имеет 2 корня - значит, рога у парабол торчат в разные стороны, и точки касания - не совпадают. Потому их линейная комбинация с к-тами разных знаков (каковой и является $g$) -корней не имеет.

[waxtep]

ewert в сообщении #1427167 писал(а):

Можно, но не нужно -- достаточно выбрать систему координат так, чтобы исходные точки лежали на одной оси и одна из них в начале координат.

Да, я это подразумевал