Олимпиада НГУ по математике 2019 (27 октября, завершена)

[waxtep]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

5. На плоскости расположены две различные точки $B$ и $C.$ Взяв произвольно точку $A_0$, построим последовательность точек $A_n$ по правилу:

$$\begin{matrix}A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, CA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{нечётном}\\ A_{n+1}\,\,\text{ - середина}\,\, BA_n\,\, \text{при}\,\,n\,\, \text{чётном}\end{matrix}$$

Докажите сходимость и найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\mid A_nA_{n+1}\mid.$

$1/3$, можно координатным методом

[nnosipov]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

Над полем $\mathbb{Z}_2$ эта матрица будет антисимметрической. А, как известно, определитель антисимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.

[thething]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

1. Сходится ли ряд

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln^21+\ln^22+\ldots +\ln^2 n}?$$

Представим ряд в виде

$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}\cdot\frac{n\ln^2 n}{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln^2k}.$$

С помощью теоремы Штольца, легко показывается, что

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{n\ln^2n}{\sum\limits_{k=1}^{n}\ln^2k}=1.$$

Дальше -- предельный признак сравнения с известным рядом $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$, который сходится.

[nnosipov]

thething в сообщении #1425046 писал(а):

С помощью теоремы Штольца

Можно и без нее: $\ln^2{1}+\ldots+\ln^2{n}>\ln^2{(n/2)}+\ldots+\ln^2{n}>n/2 \cdot \ln^2{(n/2)}$.

[mihiv]

3. Сколько действительных корней имеет уравнение $ 1+\frac x 1+\ldots +\frac {x^n}n=0?$


Обозначим функцию в левой части равенства $f(x), f'(x)=1+x+\ldots +x^{n-1}$. При $n$ нечетном всюду $f'(x)>0$, поэтому $f(x)$ имеет один корень.
При $n$ четном $f'(x)<0$ при $x<-1, f'(x)> 0$ при $x>-1, f(-1)=0$ , поэтому также только один корень.

[waxtep]

mihiv в сообщении #1425061 писал(а):

При $n$ четном $f'(x)<0$ при $x<-1, f'(x)> 0$ при $x>-1, f(-1)=0$ , поэтому также только один корень.

В этом случае ни одного корня, т.к. $f(-1)>0$

[DeBill]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

2. Пусть функция $f$ непрерывна на множестве действительных чисел. Докажите, что уравнение $f(x^2)+2x^2=f(3x-2)+3x$ имеет решение.

При $x=1$ левая часть меньше правой, а при $x=2$ - больше. Значит, решение есть.

-- 10.11.2019, 20:17 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):

Пусть $A^3=0$ для квадратной матрицы $A.$ Докажите, что матрица $A+\lambda E$ вырождена тогда и только тогда, когда $\lambda=0$.

Все собственные значения матрицы $A$ равны нулю. Значит, ненулевых собственных значений у нее нет

-- 10.11.2019, 20:23 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):

5. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника $ABCD$ не превосходит

$$\frac{\mid AB\mid\cdot \mid CD\mid + \mid AD\mid\cdot \mid BC\mid}2.$$

Это - известная задача:
Площадь треугольника не превышает половины произведения его "катетов".
Значит, площадь чет-ка со сторонами $a,b,c,d$ не превышает $\frac{ab+cd}{2}$.
Отрежем от чет-ка $ ABCD$ тр-к $ABC$ , перевернем, и приложим к $ACD$ по диагонали $AC$: из предыдущего получим требуемое.

-- 10.11.2019, 20:43 --

bot в сообщении #1425020 писал(а):

1. Найдите период повторения последней цифры в последовательности Фибоначчи

$$F_1=F_2=1,\, F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}\,\, (n>1).$$

Тупое писание цифр привело к первому повторению на $T=59$, что как то непонятно и не лезет в ворота....

[lel0lel]

DeBill в сообщении #1425069 писал(а):

Тупое писание цифр привело к первому повторению на $T=59$, что как то непонятно и не лезет в ворота....

Для периода последовательности $\left\{F_k \bmod{p}\right\}$ по простому модулю $p$ справедливо следующее $\pi(p)\mid p( p^2-1)$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period). Также можно использовать $\pi(10)=\mathrm{lcm}\left(\pi(2), \pi(5)\rhigt)$. У меня машина выдала $\pi(10)=60$

[DeBill]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

4. Пусть $x_i=\pm 1,\, i=1,2,\ldots, n$ и

$$x_1x_2x_3x_4+x_2x_3x_4x_5+\ldots+x_{n-1}x_{n}x_1x_{2}+x_{n}x_{1}x_2x_{3}=0.$$

Всего слагаемых $n$, каждое - плюс-минус один, значит, $n$ четно.
Если сумма равна 0, то половина слагаемых в ней равна 1, а половина равна -1. Посчитаем вхождения отрицательных $x_i$ в эти слагаемые. В слагаемое "+1" отрицательные входят в четном количестве, в слагаемые "-1" - в нечетном. Но каждое отрицательное $x_i$ входит в эти слагаемые четырежды, так что отрицательных слагаемых - четное число (т.е., $\frac{n}{2}$ - четно). Значит , $n$ кратно 4.
Пример для $n=8k$: минус один - все, кратные 8 (тогда последовательно будет четверка минусов, четверка плюсов - сошлось).
Пример для $n=8k+4$ (конкретно - для 12) : $+ + + + - + + + + + - -$, в общем случае - вроде, надо добавлять восьмерки с одним минусом....Короче, дурной какой-то пример...

-- 10.11.2019, 22:11 --

lel0lel в сообщении #1425081 писал(а):

У меня машина выдала $\pi(10)=60$

Во, это в ворота - лезет (таки тупой счет - вреден, мелкая неаккуратность приводит к лаже...)

-- 10.11.2019, 22:15 --

lel0lel в сообщении #1425081 писал(а):

$\pi(10)=\mathrm{lcm}\left(\pi(2), \pi(5)\rhigt)$.

А, вот так и надо было делать!...

[lel0lel]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

След чётный следовательно у матрицы нечётного порядка есть хотя бы одно чётное собственное значение.

[lel0lel]

Upd: эх, глупость выше написал. Из чётности следа не следует чётность собственных значений, они же целыми могут не быть в общем случае

[TOTAL]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

4. Докажите, что определитель целочисленной симметрической матрицы нечётного порядка с чётными числами на главной диагонали является чётным числом.

Определитель - это сумма всевозможных произведений (по одному элементу из столбца и строки).
Если произведение имеет симметричного (по индексам) двойника, то их сумма четна.
Если произведение симметрично самому себе (двойника нет), то оно содержит диагональный элемент (из-за нечетности!).

[lel0lel]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

5. Докажите, что из 50 различных трёхзначных чисел можно выбрать четыре различных числа $a, b, c, d$, для которых выполняется равенство $a + b = c + d.$

Что-то короткое решение у меня получается, быть может оно ошибочное, просьба проверить.
Из 50 различных трёхзначных чисел можно составить $50\cdot 49/2=1225$ положительных разностей, они принадлежат интервалу от 1 до 899. Если предположить что для различных $a, b, c, d$ верно $a + b \ne c + d$, то большинство разностей будут различные, так как $a-c \ne d-b$. Среди полученных 1225 разностей могут находиться равные только если $a-c = c-b$, то есть когда одно из 50 заданных чисел является средним арифметическим двух других. Но для каждого числа из 50 (кроме наименьшего и наибольшего) такая ситуация возможна только один раз, так как иначе из $a_1-c= c-b_1$ и $a_2-c = c-b_2$ следует $a_1+b_1=a_2+b_2$, а это противоречит предположению. Следовательно равных разностей не более чем 48, поэтому различных разностей 1225-48>899, а это невозможно.

TOTAL в сообщении #1425236 писал(а):

Определитель - это сумма всевозможных произведений (по одному элементу из столбца и строки).

О, спасибо, а то я пол дня голову ломаю хожу.

[TOTAL]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

3. Пусть непрерывная на отрезке $[0;1]$ функция $f$ положительна во внутренних точках и обращается в ноль на концах. Докажите, что существует квадрат, две вершины которого лежат на оси абсцисс, а две другие - на графике $y=f(x).$

Вне отрезка доопределим $f(x)$ нулем.
Функция $g(x)=f(x+f(x))$ непрерывна и пробегает на отрезке те же значения, что и функция $f(x)$.
Поэтому где-то внутри отрезка $f(t)=f(t+f(t))$
(у $f(x)$ максимум наступает и заканчивается позже)

[ewert]

bot в сообщении #1425020 писал(а):

2. Пусть непрерывная на $[a;b]$ функция $f$ строго возрастает. Докажите, что для любого $c\in (a;b)$ справедливо неравенство

$$\frac{1}{c-a}\int\limits_a^cf(x)\,dx<\frac{1}{b-a}\int\limits_a^bf(x)\,dx\,.$$

Среднее значение функции не меняется при сжатии её графика по горизонтали (с одновременным сжатием промежутка усреднения, естественно). Подожмём справа промежуток $[a;b]$ до $[a;c]$ -- подынтегральная функция в правой части окажется строго больше, чем в левой, ч.т.д.

(Условие несколько избыточно -- можно убрать и строгость монотонности, и требование непрерывности. Правда, при этом технически усложнится доказательство и/или формулировка.)