Вариационная задача (норма функционала)

[some0body]

Имеется задача
$F \colon W^1_2[-\pi; \pi] \to \mathbb{R}\\ F \colon f \mapsto f(0)$\\ Найти норму F.
Подскажите, пожалуйста, с чего здесь можно начать? Может ли как-нибудь помочь разложение f в ряд Фурье?

[4arodej]

some0body писал(а):

Имеется задача
$F \colon W^1_2[-\pi; \pi] \to W^1_2[-\pi; \pi]\\ F \colon f \mapsto f(0)$\\ Найти норму F.
Подскажите, пожалуйста, с чего здесь можно начать? Может ли как-нибудь помочь разложение f в ряд Фурье?

Что есть F? Орератор или функционал?

[some0body]

Цитата:

Что есть F? Орератор или функционал?

Функционал. Виноват: описался. Уже исправил. Спасибо!

[Anar Yusifov]

Вспоминая про обобщённую функцию Дельта от икса и заглядывая в любой учебник по обобщённым функциям находим искомую форму функционала. А на самом деле преобразования определённо помогут. В своё время я получил с их помощью необходимый вам фукционал ища его в виде скалярного произведения двух функций (одна из которых была ядром интеграла (в вашем случае плотностью)).

С Уважением, Анар.

[some0body]

Anar Yusifov
И все-таки, какова норма функционала F?

[some0body]

Сформулируем иначе. Подскажите, пожалуйста, как найти какое-нибудь решение уравнения
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx + \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x)^2 dx = 1\\f(0)=\sqrt{2\pi}$

[незваный гость]

Какое-нибудь -- легко. $f(x) = \sqrt{2 \pi}$ при $x \in [-\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}]$, $f(x) = 0$ в остальных случаях.

Вот непрерывный пример построить, пожалуй, похитрее. Я даже не уверен, что таковой существует.

[some0body]

незванный гость писал(а):

Вот непрерывный пример построить, пожалуй, похитрее.

Уточним: f вместе с производной лежат в $L_2[-\pi; \pi]$.

[Genrih]

A что если рассмотреть линейную функцию
$f(x)=cx+\sqrt{2\pi}$ ?
Теперь можно посмотреть, при каких $c$ функция будет лежать на единичной сфере в соболевской норме :
$c^2=\frac{3-6\pi ^2}{2\pi^3+6\pi}$

[AHOHbIMHO]

Genrih писал(а):

A что если рассмотреть линейную функцию
$f(x)=cx+\sqrt{2\pi}$ ?
Теперь можно посмотреть, при каких $c$ функция будет лежать на единичной сфере в соболевской норме :
$c^2=\frac{3-6\pi ^2}{2\pi^3+6\pi}$

Не получится. Т.к. интеграл заведомо больше 1:
$2/3\,{c}^{2}{\pi}^{3}+4\,{\pi}^{2}+2\,{c}^{2}\pi$

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Какое-нибудь -- легко. $f(x) = \sqrt{2 \pi}$ при $x \in [-\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}]$, $f(x) = 0$ в остальных случаях.

Не подходит, т.к. $f'(x)=\sqrt{2 \pi} \left(\delta\left(x+\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}\right) - \delta\left(x-\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}}\right)\right)$

[some0body]

Может быть, подозрения, которые высказал незванный гость верны, и f (по меньшей мере, в разумном виде) не существует. Однако, для первоначальной задачи хватило бы следующего: существует множество $\{f_\alpha\}$ такое, что $\forall \epsilon >0 \exists \alpha \left| f_\alpha(0) - \sqrt{2\pi} \right| < \epsilon$, и оно есть подмножство соболевской единичной сферы.

[Someone]

some0body писал(а):

Сформулируем иначе. Подскажите, пожалуйста, как найти какое-нибудь решение уравнения
$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx + \int\limits_{-\pi}^{\pi} f'(x)^2 dx = 1\\f(0)=\sqrt{2\pi}$

Пусть функция $f(x)$ непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную на $[-\pi,\pi]$.
Рассмотрим сначала $\int_0^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx$. Заметим, что, так как $f(0)=\sqrt{2\pi}>0$ задано, можно считать функцию $f(x)$ на $[0,\pi]$ неотрицательной и невозрастающей, то есть, $0\leqslant f(\pi)\leqslant f(x)\leqslant f(0)$ и $f'(x)\leqslant 0$ при $x\in[0,\pi]$.
Тогда $\int_0^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx\geqslant\int_0^{\pi}(f(\pi))^2dx=\pi(f(\pi))^2$.
С другой стороны, воспользовавшись неравенством $(f(x))^2+((f'(x))^2\geqslant 2|f(x)f'(x)|$, получим

$$\int_0^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx\geqslant\int_0^{\pi}2|f(x)f'(x)|dx\geqslant|\int_0^{\pi}2f(x)f'(x)dx|=|\int_0^{\pi}2f(x)df(x)|=(f(0))^2-(f(\pi))^2$$

.
Первая оценка возрастает с ростом $f(\pi)$, а вторая - убывает. Равенство $\pi(f(\pi))^2=(f(0))^2-(f(\pi))^2$ выполняется при $f(\pi)=\frac{f(0)}{\sqrt{\pi+1}}$, и это даёт оценку $\int_0^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx\geqslant\frac{\pi(f(0))^2}{\pi+1}$.
Применяя аналогичные рассуждения на отрезке $[-\pi,0]$, получим для всего отрезка $[-\pi,\pi]$ неравенство $\int_{-\pi}^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx\geqslant\frac{2\pi(f(0))^2}{\pi+1}=\frac{4\pi^2}{\pi+1}\approx 9.53218$.
Например, для функции $f(x)=f(0)e^{-|x|}$ получаем

$$\int_{-\pi}^{\pi}((f(x))^2+((f'(x))^2)dx=2(f(0))^2\int_0^{\pi}2e^{-2x}dx=2(f(0))^2(1-e^{-2\pi})=4\pi(1-e^{-2\pi})\approx 12.5429$$

.

[незваный гость]

Ну, во-первых, мне неочевидно, каков $J_{min} = \min (\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^2+f'^2{\rm d}x )$ при условии $f(0)=\sqrt{2 \pi}$. Мне как-то весьма неочевидно, что $J_{min} \le 1$. Можно со всей определенностью сказать, что он приобретается на четной функции, но вот дальше я чего-то застрял. Можно легко показать, что он меньше $\frac{4 \pi^2}{3}$ (рассматривая соответсвующий тригонометрический многочлен 20 степени). Но что-то уж очень непохоже, чтобы это куда-то вело близко к 1.

Я бы рискнул сказать, что в соответствующем пространстве $\sqrt{2\pi}\frac{\tanh \pi}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2 \cos {k x}}{k^2+1}$ минимизирует данный функционал. Сие есть нематематическая индукция, которая однакоже выглядит весьма правдоподобно.

Что же касается замечания AHOHbIMHO, то я не имел ввиду в примере \delta-функций, всего лишь разрывную фунцию с классическим интегралом по Риману.

[AHOHbIMHO]

незванный гость писал(а):

:evil:
Ну, во-первых, мне неочевидно, каков $J_{min} = \min (\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^2+f'^2{\rm d}x )$ при условии $f(0)=\sqrt{2 \pi}$. Мне как-то весьма неочевидно, что $J_{min} \le 1$. Можно со всей определенностью сказать, что он приобретается на четной функции, но вот дальше я чего-то застрял. Можно легко показать, что он меньше $\frac{4 \pi^2}{3}$ (рассматривая соответсвующий тригонометрический многочлен 20 степени). Но что-то уж очень непохоже, чтобы это куда-то вело близко к 1.

Я бы рискнул сказать, что в соответствующем пространстве $\sqrt{2\pi}\frac{\tanh \pi}{\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2 \cos {k x}}{k^2+1}$ минимизирует данный функционал. Сие есть нематематическая индукция, которая однакоже выглядит весьма правдоподобно.

Что же касается замечания AHOHbIMHO, то я не имел ввиду в примере \delta-функций, всего лишь разрывную фунцию с классическим интегралом по Риману.

А вот у меня че-то чуть подругому выходит. Функционал минимизирует функция $\frac {f(0)}{1+2a} \left(1+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos {k x}}{k^2+1}\right)$, где $a=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+1}$. Само минимальное значение функционала равно $\frac {2 \pi f^2(0)}{1+2 a}$. Неужели ошибся?