Дискретная математика

[Luckkyyy]

Помогите решит задание. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным. симметричным, антисимметричным, транзистивным.

1) $P\subseteq R^2$, $(x,y) \in \mathbb{P}$<->$x-y \in \mathbb{Z}$
2) $P\subseteq R^2$, $(x,y) \in \mathbb{P}$ <->x+y=-2

[Someone]

И каковы Ваши идеи?

P.S. На форуме принято записывать формулы определённым образом (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183). Советую не ждать, когда модератор отправит тему в "Карантин", а подсуетиться и сделать как положено.

[Luckkyyy]

Спасибо за подсказку. Если бы были идеи - не спрашивал бы. давно это было. А теперь опять пришлось это решать...

[Brukvalub]

Есть идея - проверять определения требуемых свойств!

[bot]

Luckkyyy писал(а):

Если бы были идеи - не спрашивал бы.

А пока и конкретного вопроса не задано. Откуда взяться идеям - Вы определения-то знаете?
С них бы и начать. Я вот, к примеру, не знаю, что такое транзистивное отношение, так что ответ на этот вопрос не выдам даже под пыткой.
А Вы с чего начали? Что у Вас получилось? Не стесняйтесь, говорите, если что не так - подскажем.

[Алексей К.]

Это полный синоним слова "транзитивное", его использовали преподаватели мат.логики в электронных ВУЗах, но не прижилось. Умерло вместе с транзисторами.

[Cobert]

Я прошу прощения, но ни электронику, ни схемотехнику еще не изучал. Но данное утверждение меня смущает:

Цитата:

Умерло вместе с транзисторами.

Алексей К., вы наверное хотели сказать про какой-от определенный класс транзисторов? А то по-моему они до сих пор очень широко используются.

[Алексей К.]

Полагаться на мои суждения в этой области не стоит. Имел единицу (1) по электронике (вряд ли кто может похвастаться единицей хоть по какому предмету). Просто очень давно не слышал слова "транзистор". Раньше --- всегда и повсюду ("Нет ли у тебя парочки МП-41?"). Просто хотел помочь аскеру чем мог... Для этого налгал bot'у, уцепившемуся за опечатку (лишь бы не работать!)...
150 рублей тому, кто сдвинет дело с мёртвой точки.

[juna]

Если воспользоваться определениями:
1) рефлексивно, симметрично, транзитивно.
P.S. 75 р. заработал.

[Алексей К.]

Попробую сам. Независимо от того, спугнули автора, или нет. Ведь математике совсем не чужд, даже пару статеек опубликовал. Но как не умел читать этих фраз (в отрочестве не учили), так и не умею. Вот, запомнил, что символом $\mathbb{Z}$ теперь даже дети обозначают множество целых чисел.

Цитата:

Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным. симметричным, антисимметричным, транзитивным.
1) $P\subseteq R^2$, $(x,y) \in \mathbb{P}$<->$x-y \in \mathbb{Z}$

Пробую прочитать. Смущает наличие двух похожих символов --- $P$ и $\mathbb{P}$. Буду считать, что это одно и то же.
$P\subseteq R^2$? Отношение есть подмножество точек плоскости? Видимо, речь об области определения отношения.

$(x,y) \in \mathbb{P}\;\leftrightarrow\; x-y \in \mathbb{Z}$.
Отношение даёт истину, если $x-floor(x)=y-floor(y)$. И ложь в противном случае. $(x\:P\:y=true)\quad\leftrightarrow\quad (x-floor(x)=y-floor(y))$,

А что есть "область значений отношения"? Пока могу предположить только 3 множества: {true}, {false}, {true, false}.

Буду признателен, если кто пояснит/подтвердит/поправит, не отправляя к справочникам. Роскошную книжку по дискретной математике предъявлю завтра (ссылка осталась на работе).

[Профессор Снэйп]

Да нет, там всё проще.

Область определения --- это проекция на левую координату, область значений --- проекция на правую координату.

В первой задаче $\mathrm{Dom}(P) = \mathrm{Range}(P) = \mathbb{R}$.

И с жирными буквами афтар в натуре напутал. $P$ должно быть везде не жирное, а вот $\mathbb{R}$ --- жирное.

[Алексей К.]

Это Вам проще, по причине знания этого языка

Профессор Снэйп писал(а):

Область определения --- это проекция на левую координату, область значений --- проекция на правую координату.

Вы видимо ответили про область данной задачи. А я хотел понять понятие. По придуманному мной понятию и (0,1), и (1,0) принадлежат к области определеня отношения "<", а пара $(0,\sqrt{-1})$ --- не принадлежит.
Процитированную фразу думаю; может и осознается. Всё же "проекция на левую координату" в любом контексте трудно переваривается.
С жирными буквами понял.

Добавлено спустя 5 минут 8 секунд:

Видимо, со своим представлением об области значений сильно промахнулся ("Пока могу предположить только 3 множества: {true}, {false}, {true, false}")

[Профессор Снэйп]

Пусть $P \subseteq X \times Y$. Тогда областью определения $P$ называется множество

$$ \mathrm{Dom}(P) = \{ x \in X : (\exists y \in Y)(\langle x,y \rangle \in P) \}, $$

а областью значений $P$ --- множество

$$ \mathrm{Range}(P) = \{ y \in Y : (\exists x \in X)(\langle x,y \rangle \in P) \}. $$

Эта терминология достаточно стандартна. В случае, когда $P$ является частичной функцией из $X$ в $Y$ (то есть когда для любого $x \in X$ существует не более одного $y \in Y$, такого что $\langle x,y \rangle \in P$, введённые выше множества совпадают со стандартными областями определения и значений для функций.

[Алексей К.]

Спасибо. Под $\langle x,y \rangle \in P$ понимается, судя по всему, то, что я обозначал на своём птичьем языке как $x\:P\:y=true$.

[Профессор Снэйп]

Алексей К. писал(а):

Под $\langle x,y \rangle \in P$ понимается, судя по всему, то, что я обозначал на своём птичьем языке как $x\:P\:y=true$.

Запись $\langle x,y \rangle \in P$ с формальной точки зрения наиболее грамотно, хотя вместо неё часто используют запись $xPy$. Например, пусть $P$ --- это отношение строгого неравенства. Когда хотят сказать, что $2$ меньше, чем $3$, то пишут $2<3$ вместо выглядящей довольно нелепо, хотя и формально корректной записи $\langle 2,3 \rangle \in <$.

А $xPy = \mathrm{true}$ никто не пишет. У нас ведь $P$ --- это подмножество $X \times Y$, а не функция из $X \times Y$ в множество $\{ \mathrm{true}, \mathrm{false} \}$.