Размывание меры

[Henrylee]

В продолжение темы
topic98734.html

Интересует близкая задача, но более сложная.

Возможно ли разбить множество положительной меры Лебега (пусть будет отрезок прямой)
на два неизмеримых подмножества так, чтобы каждое из них не содержало измеримого подмножества положительной меры?

[g______d]

Пусть $A\subset [0,1]$ -- неизмеримое (по Лебегу) подмножество. Существуют борелевские множества $F,G$, такие что $F\subset A\subset G\subset[0,1]$ и $\mu(F)=\mu_{\star}(A)$, $\mu(G)=\mu^{\star}(A)$. Заметим, что обязательно $\mu(F)<\mu(G)$, иначе $A$ измеримо.

Пусть $H=G\setminus F$, $B=A\setminus F$. Тогда $H$ борелевское, $\mu(H)>0$, $B\subset H$, $\mu_{\star}(B)=0$, $\mu^{\star}(B)=\mu(H)$. Таким образом, $B$ и $H\setminus B$ осуществляют указанное разбиение для $H$ (в силу того, что оба имеют внутреннюю меру нуль).

Думаю, что аналогичным образом Вы сможете построить указанное разбиение и для интервала.